Ist der diskrete Gaußsche Kern eine Eigenfunktion der DFT?

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Die Gaußsche Funktion ist also eine Eigenfunktion der Fourier-Transformation, weil sie sich in sich selbst transformiert, oder?

Dies gilt jedoch nicht für den abgetasteten Gaußschen Wert in der DFT, da die Endpunkte der Funktion abgeschnitten sind, oder?

Wikipedia beschreibt hier und hier einen diskreten Gaußschen Kernel , der sich von dem diskret abgetasteten Gaußschen unterscheidet :

das diskrete Gegenstück zum kontinuierlichen Gaußschen, indem es die Lösung der diskreten Diffusionsgleichung (diskreter Raum, kontinuierliche Zeit) ist, genauso wie das kontinuierliche Gaußsche die Lösung der kontinuierlichen Diffusionsgleichung ist

Bedeutet das, dass sich auch DFT genau in sich selbst verwandelt? Wenn nicht, gibt es eine ähnliche Gauß-ähnliche Funktion?

fourier-transform dft gaussian window-functions Endolith
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Antworten:

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Da die DFT durch Multiplikation mit der Fourier-Matrix darstellbar ist, entspricht Ihre Frage der Frage nach den Eigenvektoren der Fourier-Matrix.

Tatsächlich liefert Wikipedia die Antwort ( http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform#Eigenvalues_and_eigenvectors ).

1,- -1,ich,- -ich

Eine Formel für einen Eigenvektor in der Nähe Ihrer Anfrage wird von Wikipedia bereitgestellt

F.m=∑k=- -∞∞exp⁡(- -π⋅(m+N.⋅k)2N.)m=0,…,N.- -1

Zusammenfassend ist die Gaußsche Funktion selbst kein Eigenvektor, sondern eine unendliche Summe von Gaußschen. Die unendliche Summe kann wahrscheinlich als äquivalent zur Diskretisierung des Frequenz- und Zeitbereichs interpretiert werden, wenn wir von der FT zur DFT gehen. Es ist also nicht so einfach, nur den diskreten Gaußschen Wert abzuschneiden.

Andreas H.
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Ist eine unendliche Summe von Gaußschen nicht immer noch eine Gaußsche?
TheGrapeBeyond
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Nein, die Faltung der Gaußschen ist immer noch eine Gaußsche. Die Summe ist nur dann Gaußsch, wenn sie dieselbe Position und Breite haben. Diese Funktion ist hier tatsächlich eine Periode einer diskreten Gaußschen Impulsfolge. Es sieht also nicht einmal wie ein Gaußscher aus.
Andreas H.
Ah ich sehe. Mit anderen Worten, diese Summe ist im Wesentlichen ein Gaußscher Zug, der aus Gaußschen mit gleicher Varianz, aber unterschiedlichen Mitteln besteht.
TheGrapeBeyond
genau. Die Mittel sind durch genau N, die Länge der DFT, beabstandet.
Andreas H.
Ah, faszinierend. Eine letzte Sache, dies ist ein unendlicher Längenvektor, was bedeutet, dass die DFT-Matrix auch unendlich lang ist, nicht wahr?
TheGrapeBeyond