Was ist die Mathematik hinter der Rauschunterdrückungseigenschaft des Medianfilters?
8
Ich bin daran interessiert, den mathematischen Grund zu verstehen, warum das Anwenden eines Medianfilters auf ein Bild (oder Signal) zu einer Reduzierung des Rauschens führt.
Die Wirksamkeit eines Medianfilters hängt von der Art des Rauschens ab. Rauschen mit einem Medianwert von 0, z. B. additives weißes Gaußsches Rauschen (AWGN), würde bei ausreichenden Proben recht gut abgeschnitten. Wenn das Rauschen eine andere Form von Interferenz ist (Multipath-Fading), hilft ein Medianfilter nicht wirklich.
Nick T
Antworten:
13
Intuition: Die Intuition lautet wie folgt: Ihr Lärm ist ein Ereignis oder Ereignisse, die selten sind und im Vergleich zu anderen Ereignissen wie Ausreißer aussehen, die eigentlich nicht vorhanden sein sollten.
For example, if you are measuring the speeds of every car on the highway as they pass by you and plot them, you will see that they are usually in the range of say, 50 mph to 70 mph. However as you are inspecting your data for your boss, you see that you recorded a speed of 1,000,000 mph. Not only does this value not make physical sense for the speed of an actual car on a highway, but it also sticks out wildly from the rest of your data. Chalking this event up to some strange measurement error, you remove it, and give the rest of your data to your boss.
However as you continue your measurements day in and day out, you notice that every now and then, you get those wild measurements of speed. For example, over the span of 1 hour, you measure 1000 cars, and their speeds are nicely between 50 and 70 mph, however 3 of those have speeds of 23,424 mph, 12,000,121 mph, and 192,212,121,329,982,321,912 mph, breaking not only local state laws, but also those of theoretical physics.
You get tired of continuously having to go in, and remove those errant data points caused by your cheapo-radar by hand. Afterall, your boss is really only interested in the statistics of the speeds, not so much every actual value. He likes to make nice histograms for his bosses.
Those errant and large numbers are a kind of 'noise' you reckon - 'noise' caused by your cheapo-radar that you bought from a shady pawn shop. Is the noise additive white gaussian noise? (AWGN). Yes and no - It's spectrum is wideband and white, but it is temporally rare, sparse, and very localized. It is better referred to as 'salt and pepper' noise, (especially in the image processing domain).
Thus, what you can do, is run your data through a median filter. Your median filter will take a block of say, 5 speed points, (points 1 to 5), find the median, and spit that value as the 'average' speed. Then it will take the next 5 points, (points 2 to 6), take that median, and spit out this as the average, etc etc.
What happens when you come across one of your faster-than-light speeds?. Let us say that your 5 speeds were [45, 65, 50, 999999, 75]. If you took the normal average, your 'average' speed here will be something quite large. However if you take the median, your 'average' will be 65. Which best approximates the average that you are really trying to measure? The median metric.
Thus, if you filter your data with a median filter, you will be sure to remove those outliers - and you have thus faithfully 'de-noised' your signal. In contrast, if you tried to remove your noise via traditional filtering, (nothing but a moving weighted sum), you will instead 'smear' the error across your data, and not get rid of it.
Mathematik: Die Mathematik lautet wie folgt : Die Medianmessung wird als Ordnungsstatistik bezeichnet. That is, it returns the value of your data, along some point, after it has been ordered. The max and min are also both order statistics - they return the extreme points of your data after it has been ordered. Taking the median also returns the value of your ordered data, but right from the middle.
Aber warum unterscheiden sie sich von mittleren Filtern? Nun, Mittelwertfilter berechnen einen Durchschnitt unter Verwendung aller Daten. Wenn Sie von max, min und median bemerken, erhalten Sie eine Antwort, ohne alle Daten zu verwenden. Der Median ordnet lediglich Ihre Daten und wählt den Wert in der Mitte aus. Es "berührt" niemals die Ausreißer, wie die großen Geschwindigkeiten, die Sie gemessen haben.
Aus diesem Grund kann der Median - eine Auftragsstatistik - Ausreißergeräusche für Sie "entfernen". Ausreißerrauschen trennt sich vor dem Median, und der Median kommt nie in die Nähe oder betrachtet ihn, während er Ihnen dennoch eine gute Schätzung der zentralen Tendenz gibt.
Unter der Annahme unabhängiger Zufallsvariablen mit Normalverteilungen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert beispielsweise 2 Standardabweichungen überschreitet, etwa 0,01.
Wenn Sie einen Medianfilter der Breite 3 haben, muss dieses Triplett zwei Ausreißer auf derselben Seite des Mittelwerts enthalten, damit ein Ausreißer durchkommt. Dieses Ereignis hat eine Wahrscheinlichkeit von2 ≤ 0,0052= 0,00005.
Mit zunehmender Breite des Medianfilters nimmt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ausreißer durchkommt, exponentiell ab.
Antworten:
Intuition: Die Intuition lautet wie folgt: Ihr Lärm ist ein Ereignis oder Ereignisse, die selten sind und im Vergleich zu anderen Ereignissen wie Ausreißer aussehen, die eigentlich nicht vorhanden sein sollten.
For example, if you are measuring the speeds of every car on the highway as they pass by you and plot them, you will see that they are usually in the range of say,50 mph to 70 mph. However as you are inspecting your data for your boss, you see that you recorded a speed of 1,000,000 mph. Not only does this value not make physical sense for the speed of an actual car on a highway, but it also sticks out wildly from the rest of your data. Chalking this event up to some strange measurement error, you remove it, and give the rest of your data to your boss.
However as you continue your measurements day in and day out, you notice that every now and then, you get those wild measurements of speed. For example, over the span of 1 hour, you measure 1000 cars, and their speeds are nicely between50 and 70 mph, however 3 of those have speeds of 23,424 mph, 12,000,121 mph, and 192,212,121,329,982,321,912 mph, breaking not only local state laws, but also those of theoretical physics.
You get tired of continuously having to go in, and remove those errant data points caused by your cheapo-radar by hand. Afterall, your boss is really only interested in the statistics of the speeds, not so much every actual value. He likes to make nice histograms for his bosses.
Those errant and large numbers are a kind of 'noise' you reckon - 'noise' caused by your cheapo-radar that you bought from a shady pawn shop. Is the noise additive white gaussian noise? (AWGN). Yes and no - It's spectrum is wideband and white, but it is temporally rare, sparse, and very localized. It is better referred to as 'salt and pepper' noise, (especially in the image processing domain).
Thus, what you can do, is run your data through a median filter. Your median filter will take a block of say,5 speed points, (points 1 to 5), find the median, and spit that value as the 'average' speed. Then it will take the next 5 points, (points 2 to 6), take that median, and spit out this as the average, etc etc.
What happens when you come across one of your faster-than-light speeds?. Let us say that your 5 speeds were [45, 65, 50, 999999, 75]. If you took the normal average, your 'average' speed here will be something quite large. However if you take the median, your 'average' will be 65. Which best approximates the average that you are really trying to measure? The median metric.
Thus, if you filter your data with a median filter, you will be sure to remove those outliers - and you have thus faithfully 'de-noised' your signal. In contrast, if you tried to remove your noise via traditional filtering, (nothing but a moving weighted sum), you will instead 'smear' the error across your data, and not get rid of it.
Mathematik: Die Mathematik lautet wie folgt : Die Medianmessung wird als Ordnungsstatistik bezeichnet. That is, it returns the value of your data, along some point, after it has been ordered. The max and min are also both order statistics - they return the extreme points of your data after it has been ordered. Taking the median also returns the value of your ordered data, but right from the middle.
Aber warum unterscheiden sie sich von mittleren Filtern? Nun, Mittelwertfilter berechnen einen Durchschnitt unter Verwendung aller Daten. Wenn Sie von max, min und median bemerken, erhalten Sie eine Antwort, ohne alle Daten zu verwenden. Der Median ordnet lediglich Ihre Daten und wählt den Wert in der Mitte aus. Es "berührt" niemals die Ausreißer, wie die großen Geschwindigkeiten, die Sie gemessen haben.
Aus diesem Grund kann der Median - eine Auftragsstatistik - Ausreißergeräusche für Sie "entfernen". Ausreißerrauschen trennt sich vor dem Median, und der Median kommt nie in die Nähe oder betrachtet ihn, während er Ihnen dennoch eine gute Schätzung der zentralen Tendenz gibt.
quelle
Unter der Annahme unabhängiger Zufallsvariablen mit Normalverteilungen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert beispielsweise 2 Standardabweichungen überschreitet, etwa 0,01.
Wenn Sie einen Medianfilter der Breite 3 haben, muss dieses Triplett zwei Ausreißer auf derselben Seite des Mittelwerts enthalten, damit ein Ausreißer durchkommt. Dieses Ereignis hat eine Wahrscheinlichkeit von2 ≤ 0,0052= 0,00005.
Mit zunehmender Breite des Medianfilters nimmt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ausreißer durchkommt, exponentiell ab.
quelle