Warum ist in der Fourier- und Laplace-Transformation ein negativer Exponent vorhanden?

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Könnte jemand erklären, warum in der Fourier- und Laplace-Transformation ein negativer Exponent benötigt wird? Ich habe durch das Web geschaut, aber ich konnte nichts bekommen. Passiert etwas, wenn ein positiver Exponent in diese Transformationen eingefügt wird?

Beim Durchsehen von http://1drv.ms/1tbV45S heißt es, dass wenn eine schnell abnehmende Funktion wird, während wenn wird, eine schnell zunehmende Funktion von tIch kann das nicht verstehen. Kann jemand dies veranschaulichen.s>0s<0

Justin
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Antworten:

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Matt hat Recht, dass das Zeichen Konvention ist. Ich denke, dass es darüber hinaus einen Grund dafür gibt.

Wenn wir komplexe Frequenzen in der komplexen Ebene betrachten, sehen sie wie konstante Vektoren aus, die sich in die eine oder andere Richtung drehen. Positive Frequenzen drehen sich gegen den Uhrzeigersinn, negative Frequenzen drehen sich im Uhrzeigersinn und "0 Hz" -Frequenzen drehen sich überhaupt nicht.

Positive Frequenz

Die Fourier-Transformation hat ein negatives Vorzeichen, um sich absichtlich in die entgegengesetzte Richtung zu drehen wie die Frequenzen, nach denen sie "suchen".

Negative Frequenz

Der Grund für die entgegengesetzte Drehung ist, dass sich ihre Phasen beim Multiplizieren der beiden Frequenzvektoren wiederholt aufheben. Wenn also die Ergebnisse summiert werden, entsteht ein massiver Vektor, da alle einzelnen Vektoren in einer Reihe stehen.

X(f)=n=0N1x(n)ej2πkn/N

Fourierfrequenzvektoren

So "sucht" die Fourier-Transformation nach Frequenzen. Wenn die beiden Frequenzen gleich oder "nahe" sind (wie nahe sie sein müssen, hängt von der Länge der DFT ab), werden sie gut ausgerichtet und verursachen eine massive Reaktion in der Summierung. Ich habe gezeigt, wie dies für die diskrete Fourier-Transformation (DFT) funktioniert, aber genau die gleiche Argumentation gilt für die kontinuierliche Transformation.

Hoffentlich erklärt dies, warum die Fourier-Transformation möchte, dass sich die Vektoren in die entgegengesetzte Richtung drehen. Um ganz ehrlich zu sein, kenne ich die Laplace-Transformation nicht gut genug, um eine solide Begründung für ihr negatives Vorzeichen zu liefern. Da die beiden Transformationen jedoch sehr eng miteinander verbunden sind (die Laplace-Transformation ist eine Verallgemeinerung der Fourier-Transformation), gehe ich davon aus, dass dies aus ähnlichen Gründen geschieht.

Jim Clay
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Eine andere Ansicht wäre, die inverse Transformation zu betrachten und zu behaupten, dass es am natürlichsten erscheint, ein Signal in eine Summe (oder ein Integral) komplexer Exponentiale (mit einem positiven Vorzeichen im Exponenten) zusammenzusetzen. Es würde jedoch keine wesentliche Änderung auftreten, wenn die Vorzeichenkonvention geändert würde.
Matt L.
@ MattL. In beiden Punkten einverstanden.
Jim Clay
@ JimClay: Illustration ist gut. Sagen Sie das, da das Punktprodukt von Vektoren enthält cosθWenn die Rotation entgegengesetzt ist, würden sich die Vektoren addieren. Oder ob Sie über Kreuzprodukt sprechen. Ich konnte nicht verstehen, was Sie mit "entgegengesetzter Rotation" meinten.
Justin
@ Justin Ich bin nicht sicher, wo die cosθvon dem du sprichst kommt von. Vielleicht bekommen Sie das vonejθ=cos(θ)+jsin(θ)? In jedem Fall soll das zweite Bild das veranschaulichenej2πkn/Nim Fourier-Transformations-Kreuzprodukt. Es dreht sich in der komplexen Ebene im Uhrzeigersinn. Mit anderen Worten, jede Probe ist dieselbe Phase wie die vorherige Probe, abzüglich einer konstanten Phase. Niedrige Frequenzen haben kleine Phasendifferenzen, hohe Frequenzen haben große Phasendifferenzen.
Jim Clay
@ JimClay: Aber in der Fourier-Transformation "addieren" wir wirklich jedes Signal oder "multiplizieren" wir sie?
Justin
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Für die Fourier-Transformation ist das Vorzeichen des Exponenten reine Konvention. Beachten Sie, dass Sie für die inverse Transformation ein positives Vorzeichen im Exponenten haben. Sie können die Laplace-Transformation auch mit einem positiven Vorzeichen im Exponenten definieren. In jedem Fall möchten Sie, dass die exponentielle Dämpfung der Zeitbereichsfunktion transformiert wird, sodass der Realteil des komplexen Exponenten negativ sein sollte. Wenn du dich verändert hasts zu s dann würde sich der Konvergenzbereich der einseitigen Laplace-Transformation von ändern {s}>a zu {s}<a für eine reelle Konstante a.

Matt L.
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Ich habe den Beitrag aktualisiert. Könnten Sie ihn sich ansehen?
Justin
@justin: Der Integrand ist f(t)est. Mits=σ+jω du erhältst f(t)eσtejωt. Zumσ>0 Sie erhalten eine exponentielle Dämpfung von f(t) (zum t>0). Andernfalls würden Sie einen exponentiell ansteigenden Faktor erhalten, der das Integral divergieren lassen könnte.
Matt L.
Könntest du sagen, was tut? j,ω und σin der Variablen des Komplexes für eine Signalanalyse darstellen.
Justin
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@ Justin: Ich habe verwendet j als imaginäre Einheit (wie in EE üblich, nennen es andere Leute i). Und seits=σ+iω, σ ist der Realteil von s, und ω ist der Imaginärteil von s.
Matt L.
Könnten Sie es mit Signalcharakteristiken anstelle eines theoretischen Ansatzes erklären?
Justin
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Ich würde nur sagen, dass die ursprüngliche Konvention darin besteht, komplexe Sinuskurven mit einem positiven Exponenten darzustellen. so wäre eine Spannung "Zeiger"

v(t)=Vejωt

(V ist eine komplexe Konstante und |V| repräsentiert die Größe des Zeigers und arg{V} stellt die Phase des Zeigers dar.) Ich nehme an, wir könnten die Konvention als definieren

v(t)=Vejωt

aber meine Frage wäre "warum sich die Mühe machen?"

Warum ein komplexes Exponential? daestist eine Eigenfunktion (im Wesentlichen die Eigenfunktion) linearer zeitinvarianter (LTI) Systeme, auf die wir Fourier- und Laplace-Transformationen anwenden. wannest geht mal in ein LTI-System est kommt heraus.

LTI-Systeme können vollständig durch ihre Impulsantwort beschrieben werden oder ihre Eingabe / Ausgabe-Beziehung kann vollständig durch ihre Impulsantwort beschrieben werden h(t). Diese Beschreibung ist Faltung:

y(t)=h(τ)x(tτ) dτ

wenn der Eingang ist

x(t)=est

die Ausgabe ist

y(t)=h(τ)x(tτ) dτ=h(τ)es(tτ) dτ=h(τ)esτ dτ  est=H(s) est=H(s) x(t)

damit x(t)=est ist eine Eigenfunktion und der Eigenwert, das, was die Eigenfunktion in einem LTI-System skaliert, ist H(s) und direkt verwandt mit h(t).

dann dreht sich alles um Fourier. so verallgemeinert Fourier ein wenig, zuerst mit einer periodischenx(t) dass Fourier-Positionen, die mit Sinuskurven dargestellt werden können, alle die gleiche Periode haben wie x(t).

x(t+T)=x(t)t

x(t)=k=X[k] ej2πkTt

Es ist immer noch die ursprüngliche Konvention: Definieren Sie das Signal als Zeiger ejωt. der positive Exponent bleibt bestehen. X[k]sind die "Fourier-Koeffizienten" .

Wir wissen also, dass die Ausgabe ist

y(t)=k=H(j2πkT)X[k] ej2πkTt=k=Y[k] ej2πkTt

eine andere periodische Funktion mit derselben Periode, jedoch mit unterschiedlichen Fourier-Koeffizienten.

also positiv ω im Exponenten.

Was sind diese Fourier-Koeffizienten?

0Tx(t)ej2πmTt dt=0Tx(t)ej2πmTt dt=0Tk=X[k]ej2πkTtej2πmTt dt=0Tk=X[k]ej2π(km)Tt dt=k=X[k]0Tej2π(km)Tt dt

für jeden k in der Summe wo kmist das Integral Null, so dass der Term in der Summation Null ist.

0Tej2π(km)Tt dt={0,for kmT,for k=m

für den einzelnen Term ungleich Null, wenn k=m, wir haben

0Tx(t)ej2πmTt dt=X[m]T

damit

X[m]=1T 0Tx(t)ej2πmTt dt

von dort kommt der negative Exponent. Wir brauchen diesen Exponenten, um negativ zu sein, damit nur dermth Begriff in der Summe überlebt (wenn k=m und ej2π(km)Tt=1), wodurch eine einzelne isoliert wird X[m]Wir wissen also, was es ist. sonst wäre es dasmth Begriff überleben und wir müssten die Konvention in unserer ursprünglichen Definition von ändern x(t).

Dies bleibt im Wesentlichen der Fall, da die Fourierreihendarstellung auf nichtperiodisch verallgemeinert ist x(t), wo die Summation ein Integral wird. weil wir unser Signal als eine Art integrale Summation dieser exponentiellen (mit positiven Exponenten) Eigenfunktionen definieren:

x(t)=12πX(jω)ejωt dω

Um diese Fourier- "Koeffizienten" zu erhalten, benötigen wir einen negativen Exponenten:

X(jω)=x(t)ejωtdt

Laplace verallgemeinert weiter, indem er diesen rein imaginären Wert zulässt jω ein allgemeinerer komplexer Wert sein, s=σ+jω. Dies ändert jedoch nichts an der Vorzeichenkonvention.

robert bristow-johnson
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Könntest du sagen warum? estist eine Eigenfunktion?
Justin
klar hatte ich schon. Erstens ist die allgemeine Eingabe / Ausgabe-Gleichung für ein LTI-System die Faltungsgleichung:
y(t)=h(τ)x(tτ) dτ
Definieren Sie die Eingabe als
x(t)=est
Stecken Sie das dann in die Faltungsgleichung und sehen Sie, wofür es herauskommt y(t). Benötigen Sie jemanden, der erklärt, wie das Faltungsintegral abgeleitet wird?
Robert Bristow-Johnson
: Ich würde gerne wissen, ob es nur zur Eingabe dient est wir würden eine Ausgabe in Bezug auf erhalten est zurück oder gibt es eine andere Funktion? Genauer gesagt möchte ich wissen, warum ein Schwerpunkt auf 'ext(x kann komplex oder real sein) in den meisten Transformationen wie DFT, Laplace-Transformation, Z-Transformation usw.
Justin
Ich glaube, dass die Exponentialform, x(t)=estist die einzige funktionale Form für eine Eigenfunktion für lineare zeitinvariante (LTI) Systeme. erinnere dich darans definiert nur allgemein die Basis des Exponentials seitdem est=(es)t=eint, also jede Exponentialfunktion vontfunktioniert. Ich glaube nicht, dass irgendeine andere allgemeine Form der Funktion das Faltungsintegral durchlaufen wird, ohne dass sich seine Form ändert. Vielleicht wird eine Power-Serie:
x(t)=n=0einntn
das ist alles.
Robert Bristow-Johnson
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Der negative Exponent in der Vorwärtstransformation ist notwendig und unvermeidlich, da innere Produktaxiome für komplexe Vektoren oder Funktionen ohne Konjugation inkonsistent sind.

Zum Beispiel wäre das innere Produkt eines komplexen Vektors mit sich selbst ohne Konjugation nicht real und nicht negativ.

Patrick
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