Warum ist in der Fourier- und Laplace-Transformation ein negativer Exponent vorhanden?

Könnte jemand erklären, warum in der Fourier- und Laplace-Transformation ein negativer Exponent benötigt wird? Ich habe durch das Web geschaut, aber ich konnte nichts bekommen. Passiert etwas, wenn ein positiver Exponent in diese Transformationen eingefügt wird?

Beim Durchsehen von http://1drv.ms/1tbV45S heißt es, dass wenn eine schnell abnehmende Funktion wird, während wenn wird, eine schnell zunehmende Funktion von tIch kann das nicht verstehen. Kann jemand dies veranschaulichen.$s>0$$s<0$

Matt hat Recht, dass das Zeichen Konvention ist. Ich denke, dass es darüber hinaus einen Grund dafür gibt.

Wenn wir komplexe Frequenzen in der komplexen Ebene betrachten, sehen sie wie konstante Vektoren aus, die sich in die eine oder andere Richtung drehen. Positive Frequenzen drehen sich gegen den Uhrzeigersinn, negative Frequenzen drehen sich im Uhrzeigersinn und "0 Hz" -Frequenzen drehen sich überhaupt nicht.

Die Fourier-Transformation hat ein negatives Vorzeichen, um sich absichtlich in die entgegengesetzte Richtung zu drehen wie die Frequenzen, nach denen sie "suchen".

Der Grund für die entgegengesetzte Drehung ist, dass sich ihre Phasen beim Multiplizieren der beiden Frequenzvektoren wiederholt aufheben. Wenn also die Ergebnisse summiert werden, entsteht ein massiver Vektor, da alle einzelnen Vektoren in einer Reihe stehen.

$$X(f) = \sum\limits_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi kn/N}$$

So "sucht" die Fourier-Transformation nach Frequenzen. Wenn die beiden Frequenzen gleich oder "nahe" sind (wie nahe sie sein müssen, hängt von der Länge der DFT ab), werden sie gut ausgerichtet und verursachen eine massive Reaktion in der Summierung. Ich habe gezeigt, wie dies für die diskrete Fourier-Transformation (DFT) funktioniert, aber genau die gleiche Argumentation gilt für die kontinuierliche Transformation.

Hoffentlich erklärt dies, warum die Fourier-Transformation möchte, dass sich die Vektoren in die entgegengesetzte Richtung drehen. Um ganz ehrlich zu sein, kenne ich die Laplace-Transformation nicht gut genug, um eine solide Begründung für ihr negatives Vorzeichen zu liefern. Da die beiden Transformationen jedoch sehr eng miteinander verbunden sind (die Laplace-Transformation ist eine Verallgemeinerung der Fourier-Transformation), gehe ich davon aus, dass dies aus ähnlichen Gründen geschieht.

Für die Fourier-Transformation ist das Vorzeichen des Exponenten reine Konvention. Beachten Sie, dass Sie für die inverse Transformation ein positives Vorzeichen im Exponenten haben. Sie können die Laplace-Transformation auch mit einem positiven Vorzeichen im Exponenten definieren. In jedem Fall möchten Sie, dass die exponentielle Dämpfung der Zeitbereichsfunktion transformiert wird, sodass der Realteil des komplexen Exponenten negativ sein sollte. Wenn du dich verändert hast$s$ zu $-s$ dann würde sich der Konvergenzbereich der einseitigen Laplace-Transformation von ändern $\Re\{s\}>a$ zu $\Re\{s\}<a$ für eine reelle Konstante $a$.

Ich würde nur sagen, dass die ursprüngliche Konvention darin besteht, komplexe Sinuskurven mit einem positiven Exponenten darzustellen. so wäre eine Spannung "Zeiger"

$$v(t) = V e^{j \omega t}$$

($V$ ist eine komplexe Konstante und $|V|$ repräsentiert die Größe des Zeigers und $\arg\{V\}$ stellt die Phase des Zeigers dar.) Ich nehme an, wir könnten die Konvention als definieren

$$v(t) = V e^{-j \omega t}$$

aber meine Frage wäre "warum sich die Mühe machen?"

Warum ein komplexes Exponential? da$e^{s t}$ist eine Eigenfunktion (im Wesentlichen die Eigenfunktion) linearer zeitinvarianter (LTI) Systeme, auf die wir Fourier- und Laplace-Transformationen anwenden. wann$e^{s t}$ geht mal in ein LTI-System $e^{s t}$ kommt heraus.

LTI-Systeme können vollständig durch ihre Impulsantwort beschrieben werden oder ihre Eingabe / Ausgabe-Beziehung kann vollständig durch ihre Impulsantwort beschrieben werden $h(t)$. Diese Beschreibung ist Faltung:

$$y(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t-\tau) \ d \tau$$

wenn der Eingang ist

$$x(t) = e^{s t}$$

die Ausgabe ist

$$\begin{align} y(t) & = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t-\tau) \ d \tau \\ & = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) e^{s (t-\tau)} \ d \tau \\ & = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) e^{-s \tau} \ d \tau \ \ e^{s t} \\ & = H(s) \ e^{s t} \\ & = H(s) \ x(t) \\ \end{align}$$

damit $x(t)=e^{s t}$ ist eine Eigenfunktion und der Eigenwert, das, was die Eigenfunktion in einem LTI-System skaliert, ist $H(s)$ und direkt verwandt mit $h(t)$.

dann dreht sich alles um Fourier. so verallgemeinert Fourier ein wenig, zuerst mit einer periodischen$x(t)$ dass Fourier-Positionen, die mit Sinuskurven dargestellt werden können, alle die gleiche Periode haben wie $x(t)$.

$$x(t+T) = x(t) \quad \forall t$$

$$x(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{T} t}$$

Es ist immer noch die ursprüngliche Konvention: Definieren Sie das Signal als Zeiger $e^{j \omega t}$. der positive Exponent bleibt bestehen. $X[k]$sind die "Fourier-Koeffizienten" .

Wir wissen also, dass die Ausgabe ist

$$\begin{align} y(t) & = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} H\left(j \frac{2 \pi k}{T} \right) X[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{T} t} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} Y[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{T} t} \\ \end{align}$$

eine andere periodische Funktion mit derselben Periode, jedoch mit unterschiedlichen Fourier-Koeffizienten.

also positiv $\omega$ im Exponenten.

Was sind diese Fourier-Koeffizienten?

$$\begin{align} \int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt & = \int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt \\ & = \int\limits_{0}^{T} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] e^{j \frac{2 \pi k}{T} t} e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt \\ & = \int\limits_{0}^{T} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t} \ dt \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] \int\limits_{0}^{T} e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t} \ dt \\ \end{align}$$

für jeden $k$ in der Summe wo $k \ne m$ist das Integral Null, so dass der Term in der Summation Null ist.

$$\int\limits_{0}^{T} e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t} \ dt = \begin{cases} 0, & \text{for } k \ne m \\ T, & \text{for } k = m \end{cases}$$

für den einzelnen Term ungleich Null, wenn $k=m$, wir haben

$$\int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt = X[m] T$$

damit

$$X[m] = \frac{1}{T} \ \int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt$$

von dort kommt der negative Exponent. Wir brauchen diesen Exponenten, um negativ zu sein, damit nur der$m^{\text{th}}$ Begriff in der Summe überlebt (wenn $k=m$ und $e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t}=1$), wodurch eine einzelne isoliert wird $X[m]$Wir wissen also, was es ist. sonst wäre es das$-m^{\text{th}}$ Begriff überleben und wir müssten die Konvention in unserer ursprünglichen Definition von ändern $x(t)$.

Dies bleibt im Wesentlichen der Fall, da die Fourierreihendarstellung auf nichtperiodisch verallgemeinert ist $x(t)$, wo die Summation ein Integral wird. weil wir unser Signal als eine Art integrale Summation dieser exponentiellen (mit positiven Exponenten) Eigenfunktionen definieren:

$$x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} X(j \omega) e^{j \omega t} \ d \omega$$

Um diese Fourier- "Koeffizienten" zu erhalten, benötigen wir einen negativen Exponenten:

$$X(j \omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} dt$$

Laplace verallgemeinert weiter, indem er diesen rein imaginären Wert zulässt $j \omega$ ein allgemeinerer komplexer Wert sein, $s = \sigma + j \omega$. Dies ändert jedoch nichts an der Vorzeichenkonvention.

Der negative Exponent in der Vorwärtstransformation ist notwendig und unvermeidlich, da innere Produktaxiome für komplexe Vektoren oder Funktionen ohne Konjugation inkonsistent sind.

Zum Beispiel wäre das innere Produkt eines komplexen Vektors mit sich selbst ohne Konjugation nicht real und nicht negativ.