Ist ein undichter Integrator dasselbe wie ein Tiefpassfilter?

Die Gleichung für einen undichten Integrator (zumindest laut Wikipedia) lautet

$\frac{d\mathcal{O}}{dt} + A\mathcal{O}(t) = \mathcal{I}(t)$.

Ist ein zeitkontinuierlicher undichter Integrator bis zu einer gewissen Skalierung des Eingangs dasselbe wie ein Tiefpassfilter mit der Zeitkonstante $A$ ?

Ein sogenannter Leaky Integrator ist ein Filter erster Ordnung mit Rückkopplung. Lassen Sie uns seine Übertragungsfunktion finden, vorausgesetzt, die Eingabe ist $x(t)$ und die Ausgabe $y(t)$ :

$$\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t) = x(t)$$

$$\mathcal{L}\left\{\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}$$

$\mathcal{L}$

$$sY(s) + AY(s) = X(s)$$

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s + A}$$

$\frac{dy(t)}{dt} \Leftrightarrow sY(s)$$y(0) = 0$

$H(s)$$s = -A$$\omega$$s=j\omega$

$$H(j\omega) = \frac{1}{j\omega + A}$$

$\omega \to 0$

$$\lim_{\omega \to 0} H(\omega) = \frac{1}{A}$$

So ist das DC - Verstärkung des Systems ist umgekehrt proportional zum Rückkopplungsfaktor . Als nächstes lassen Sie :$A$$w \to \infty$

$$\lim_{\omega \to \infty} H(\omega) = 0$$

Der Frequenzgang des Systems geht daher bei hohen Frequenzen auf Null. Dies folgt dem groben Prototyp eines Tiefpassfilters. Um Ihre andere Frage in Bezug auf die Zeitkonstante zu beantworten, sollten Sie die Zeitbereichsantwort des Systems überprüfen. Seine Impulsantwort kann durch inverse Transformation der Übertragungsfunktion gefunden werden:

$$H(s) = \frac{1}{s+A} \Leftrightarrow e^{-At}u(t) = h(t)$$

Dabei ist die Heaviside-Schrittfunktion . Dies ist eine sehr häufige Transformation, die häufig in Tabellen mit Laplace-Transformationen zu finden ist . Diese Impulsantwort ist eine exponentielle Abklingfunktion , die normalerweise im folgenden Format geschrieben wird:$u(t)$

$$h(t) = e^{-\frac{t}{\tau}}u(t)$$

Dabei ist als Zeitkonstante der Funktion definiert. In Ihrem Beispiel lautet die Zeitkonstante des Systems also .$\tau$$\tau = \frac{1}{A}$

Der Frequenzgang ist zwar der gleiche, aber die Anwendung ist unterschiedlich:

• Mit einem Tiefpassfilter befindet sich Ihr Signal im Durchlassbereich. Die Grenzfrequenz des Filters wird über der höchsten Frequenz eingestellt, die Sie in Ihrem Signal behalten möchten.
• Mit einem undichten Integrator befindet sich Ihr Signal im Sperrbereich. Die Grenzfrequenz des Filters wird unter die niedrigste Frequenz in Ihrem Signal eingestellt.

Außerdem sind Integratoren immer erster Ordnung, während Tiefpassfilter beliebiger Ordnung sein können.