Extremwerttheorie: Lognormale GEV-Parameter

Die logarithmische Normalverteilung gehört zum maximalen Anziehungsbereich von Gumbel , wobei:

$F^{logN}(x; \mu,\sigma)=\Phi\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right)$,

$F^{Gum}(x;\mu,\beta) = e^{-\exp\left({-\frac{x-\mu}{\beta}}\right)}$

Meine Frage : Haben wir und ?σ = $\mu=\mu$$\sigma=\beta$

Die verallgemeinerte Extremwertverteilung verwendet auch die Notation (Gumbel ist der Grenzfall ), und ein Vergleich der CDFs für Standard-Lognormal und Standard-Gumbel würde wiederum bedeuten, dass die Parameter übereinstimmen. Aber ich bin mir nicht sicher, da Gumbel ein Grenzfall für Lognormal Maxima ist, so dass es auch zu einer gewissen Transformation der Parameter kommen kann.ξ = $\beta=\sigma$$\xi =0$

Sei mit der Bedeutung, dass das rv mit dem Mittelwert und der Standardabweichung normal ist . Unter Berücksichtigung von wissen wir, dass es zwei Sequenzen und so dass$X_i \sim_{\text{i.i.d}} \text{LNorm}(\mu,\,\sigma)$$\log X_i$$\mu$$\sigma$$M_n := \max_{1 \leqslant i \leqslant n} X_i$$a_n >0$$b_n$

$$\tag{1} \frac{M_n - b_n}{a_n} \to \text{Gum}(0, 1)$$

Dabei bezeichnet die Gumbel-Verteilung mit Position und Skala . Dies bedeutet, dass für alle .$\text{Gum}(\nu,\,\beta)$$\nu$$\beta$$F_{M_n}(a_n x + b_n) \to F_{\text{Gum}}(x;\,0,\,1)$$x$

Ganz offensichtlich hängen die beiden Sequenzen und von und , so dass sie als und bezeichnet werden könnten . Wenn zum Beispiel durch ersetzt wird, wird die Verteilung von durch die von und die Verteilung von wird durch die von , was bedeutet, dass und durch und ersetzt werden die gleiche Grenze zu halten. Ebenso, wenn wir ersetzen$a_n$$b_n$$\mu$$\sigma$$a_n(\mu,\,\sigma)$$b_n(\mu,\,\sigma)$$\mu$$\mu +1$$X_i$$e X_i$$M_n$$e M_n$$a_n$$b_n$$ea_n$$eb_n$$\mu$0 σ X i e - μ X i a n b n e - μ ein n e - μ b ndurch bei unverändertem soll durch und dann müssen und durch und .$0$$\sigma$$X_i$$e^{-\mu} X_i$$a_n$$b_n$$e^{-\mu} a_n$$e^{-\mu}b_n$

Die Frage kann wie folgt formuliert werden: Wenn wir die Sequenzen und auf der linken Seite von (1) verwenden - anstelle des fälligen und - erhalten wir auf der rechten Seite? Die Antwort lautet dann nein, da die Parameter des Gumbel tatsächlich Standort- und Skalierungsparameter sind, während dies für die logarithmische Normalität nicht gilt. Der Parameter der logarithmischen Normalen wirkt sich auf den Schwanz aus, wie aus der Tatsache ersichtlich ist, dass der Variationskoeffizient mit zunimmt . Während immer in der Gumbel-Anziehungsdomäne verbleibt, sind die Sequenzen$a_n(0, 1)$$b_n(0, \,1)$$a_n(\mu,\,\sigma)$$b_n(\mu,\,\sigma)$$\text{Gum}(\mu,\,\sigma)$$\sigma$$\sigma$$\text{LNorm}(\mu,\,\sigma)$$a_n$b n ∞ σ ein n b n b n ( μ , σ ) = e μund müssen neigen schneller als zunimmt. Es kann bewiesen werden, dass wir in (1) die Sequenzen und so verwenden können, dass siehe Embrechts P., Klüppelberg C. und Mikosch T. Tabelle 3.4.4 S. 155 -157. Wenn wir Sequenzen und mit einem falschen , erhalten wir keine nicht entartete Grenze für die linke Seite von (1), da die Wachstumsraten von und dann für den Schwanz von ungeeignet sind$b_n$$\infty$$\sigma$$a_n$$b_n$

$$b_n(\mu, \sigma) = e^\mu \, b_n(0, 1)^\sigma, \qquad a_n(\mu, \sigma) = \sigma \,(2 \log n)^{-1/2} b_n(\mu,\,\sigma),$$ a n b n σ a n b n X i$a_n$$b_n$$\sigma$$a_n$$b_n$$X_i$ .