Warum Aktienkurse normal sind, Aktienrenditen aber normal

Gibt es außer der Tatsache, dass die Renditen negativ sein können, während die Preise positiv sein müssen, einen anderen Grund dafür, Aktienkurse als logarithmische Normalverteilung zu modellieren, aber Aktienrenditen als Normalverteilung zu modellieren?

Einige Punkte, um mit zu beginnen:

i) Diese Verteilungskonventionen sind bestenfalls Näherungswerte. Sie können bequeme Modelle sein, aber wir sollten das nicht mit der tatsächlichen Verteilung der Aktienkurse oder Renditen verwechseln.

ii) Aktienkurse steigen normalerweise (aber in jedem Fall haben sie einen sich ändernden Mittelwert; der Mittelwert ist nicht stabil). Wenn wir also über die Verteilung der Aktienkurse sprechen, beziehen wir uns normalerweise nicht auf deren marginale Verteilung, sondern auf eine bedingte Verteilung. Daher meinen wir oft eher, dass ungefähr lognormal ist und sich der Mittelwert mit ändert (insbesondere bedingt lognormal, abhängig von einem vorherigen Wert und der verstrichenen Zeit). Auch die Varianz kann sich ändern. In diesem Fall können sowohl der Mittelwert als auch die Varianzbedingung für einen bestimmten vorherigen Wert und Zeitpunkt geändert werden. Zum Beispiel könnten wir mit "Aktienkurse sind ungefähr lognormal" t y t / y t - $y_t$$t$y $y_t/y_{t-1} \, \dot{\sim}\, \log N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$oder äquivalent$y_t \, \dot{\sim}\, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

$x$$\log(1+x)\approx x$

$\frac{y_{t}-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

$\log(y_t)-\log(y_{t-1})=\log(\frac{y_t}{y_{t-1}})\approx \frac{y_t}{y_{t-1}}-1=\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

Das heißt, die Rendite entspricht in etwa der Änderung des Stammaktienpreises (versuchen Sie es mit realen Aktienkursen und stellen Sie fest, dass diese nahezu identisch sind).

Also wenn

$$y_t \, \dot{\sim} \, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

was impliziert

$$\log(y_t) \, \dot{\sim} \, N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

dann

$$\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\approx \log(y_t)-\log(y_{t-1})\,\dot{\sim}\,N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$