Wie ist die Verteilung des Verhältnisses zweier Poisson-Zufallsvariablen?

Ich habe eine Frage zu Zufallsvariablen. Nehmen wir an , dass wir zwei Zufallsvariablen und . Nehmen wir an, ist Poisson-verteilt mit Parameter und ist Poisson-verteilt mit Parameter $X$ $Y$ $X$ $\lambda_1$ $Y$ $\lambda_2$ .

Wenn Sie die Fraktur aus erstellen und diese Variable als Zufallsvariable , wie ist diese verteilt und was ist der Mittelwert? Ist es ? $X/Y$ $Z$ $\lambda_1/\lambda_2$

random-variable poisson-distribution MarkDollar
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Ich bin zufällig darauf gestoßen, als ich nach Referenzen gesucht habe. Die Inferenz für das Poisson-Verhältnis ist für Frequentisten ( Nelson, 1970, "Confidence Intervals for the Ratio of Two Poisson Means and Poisson Predictor Intervals" ) und Bayesianer gleichermaßen (Lindley, 1965) recht einfach . Auch mit Null-Nennern kein Problem!

Frank Tuyl

Der ursprüngliche Fragesteller und andere könnten daran interessiert sein, festzustellen, dass

einen Erwartungswert

. Je nach Anwendung kann dies von größerem Nutzen sein als

. Weitere Einzelheiten finden Sie in meinem Aufsatz im Journal of Analytical Atomic Spectrometry, 28 , 52, mit dem Titel "Statistical Bias in Isotopenverhältnissen" mit DOI: 10.1039 / C2JA10205F.

X / (Y + 1)

$X/(Y+1)$

(λ_{1} / λ_{2}) (1 - e^{- λ_{2}})

$(\lambda_1/\lambda_2) (1-e^{-\lambda_2})$

X / Y

$X/Y$

Dies ist ein häufig auftretendes Problem in der Astronomie. Die Bayes'sche Lösung wurde von Park et al. (2006, Astrophysical Journal, v652, 610-628, Bayesian Estimation of Hardness Ratios: Modeling and Computations ). Sie beziehen Hintergrundkontaminationen in ihre Behandlung ein.

user78543

Aus der Zusammenfassung ist nicht ersichtlich, dass sie sich mit der Frage des OP befassen. In welcher Beziehung steht diese Arbeit zur Verteilung des Verhältnisses zweier Poisson-Zufallsvariablen?

Andy

ttu-ir.tdl.org/ttu-ir/bitstream/handle/2346/59954/…

kjetil b halvorsen

Antworten:

Ich denke, du wirst ein Problem damit haben. Da die Variable Y Nullen hat, hat X / Y einige undefinierte Werte, sodass Sie keine Verteilung erhalten.

bill_080
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+1 That's right. But (to head off possible confusion) the problem isn't just that

Y

$Y$ can equal

0

$0$ : it's that it can equal

0

$0$ with positive probability. (For instance, a quotient of normals does have a distribution even though the denominator can equal

0

$0$ .) Thus,

X / Y

$X/Y$ is undefined with positive probability, making its mean (and any other moment) undefined as well.

whuber

+1, but in the literature on false discovery rates people have no problem with

X / Y

$X/Y$ where

X

$X$ is the true positives and

Y

$Y$ is the total number of positives :-). It is always understood, by convention, that 0 out of 0 equals 0.

NRH

@Mark: It's probably better to ask that as a new question, and to get real specific about what you're trying to achieve.

bill_080

@NRH In your case there is a strong dependence of

X

$X$ on

Y

$Y$ . That completely changes things, because now the probability of a positive:zero ratio is nil.

whuber

@whuber, that's of course right. Thanks for pointing that out. I was just thinking that maybe there was some unstated convention to make the problem meaningful. But from @MarkDollar's comment above it seems that that was not the case to begin with.

NRH

By realizing that the ratio is in fact not a well defined measurable set, we redefine the ratio as a properly measurable set

P [\frac{X}{Y} \leq r] := P [X \leq r Y] = \sum_{y = 0}^{\infty} \sum_{x = 0}^{⌊ r y ⌋} \frac{λ_{2}^{y}}{y!} e^{- λ_{2}} \frac{λ_{1}^{x}}{x!} e^{- λ_{1}}

$\mathbb{P}\left[\frac{X}{Y} \leq r \right] := \mathbb{P}\left[X \leq r Y\right]\\ = \sum_{y = 0}^\infty \sum_{x=0}^{\left\lfloor ry \right\rfloor} \frac{\lambda_{2}^y }{y!}e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_{1}^x }{x!}e^{-\lambda_1}$ where the summation follows as long as

r > 0

$r > 0$ , and

X

$X$ and

Y

$Y$ are independent Poisson variables. The density follows from the Radon-Nykodym theorem.

Aaron Sheldon
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Suppose that

Y

$Y$ comes from a zero-truncated Poisson distribution. Would the answer then be:

Brash Equilibrium