Ich suche nach einigen Wahrscheinlichkeitsungleichungen für Summen von unbegrenzten Zufallsvariablen. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand ein paar Gedanken machen könnte.
Mein Problem besteht darin, eine exponentielle Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass die Summe der unbegrenzten iid-Zufallsvariablen, die tatsächlich die Multiplikation von zwei iid-Gaußschen Variablen sind, einen bestimmten Wert überschreitet, dh , wobei , und iid aus generiert werden .X = Σ N i = 1 w i v i w i v i N ( 0 , σ )
Ich habe versucht, die Chernoff-Grenze mit der Momenterzeugungsfunktion (MGF) zu verwenden. Die abgeleitete Grenze ist gegeben durch:
wo ist die MGF von . Aber die Grenze ist nicht so eng. Das Hauptproblem bei meinem Problem ist, dass die Zufallsvariablen unbegrenzt sind und ich die Grenze der Höffding-Ungleichung leider nicht verwenden kann.
Ich bin zu glücklich, wenn Sie mir helfen, eine enge exponentielle Grenze zu finden.
Antworten:
Unter Verwendung der von Ihnen vorgeschlagenen Chernoff-Grenze für ein später angegebenes lautet wobei die zweite Ungleichung dank für jedes . Nehmen Sie nun und , die rechte Seite wird zu was für jedes ergibt .s≤1/(2σ2)
Eine andere Möglichkeit besteht darin, Konzentrationsunterschiede wie die Hanson-Wright-Ungleichung oder Konzentrationsunterschiede für das Gaußsche Chaos der Ordnung 2, die die Zufallsvariable umfassen, an der Sie interessiert sind, direkt anzuwenden.
Einfachere Annäherung ohne Verwendung der Momenterzeugungsfunktion
Nehmen Sie der Einfachheit halber (andernfalls können Sie die Skalierung durch Teilen durch ändern ).σ=1 σ2
Schreib und . Sie fragen nach oberen Schranken für .v=(v1,...,vn)T w=(w1,...,wn)T P(vTw>ϵN)
Sei. Dann ist durch die Unabhängigkeit von und unabhängig von mit der Verteilung mit Freiheitsgraden.Z=wTv/∥v∥ Z∼N(0,1) v,w ∥v∥2 Z χ2 n
Nach Standardgrenzen für normale und zufällige Variablen ist Die Kombination mit der Vereinigungsgrenze ergibt eine obere Grenze für der Form .χ2 P(|Z|>ϵn/2−−−√)≤2exp(−ϵ2n/4),P(∥v∥>2n−−√)≤exp(−n(2–√−1)2/2). P(vTw>ϵN) 2exp(−ϵ2n/4)+exp(−n(2–√−1)2/2)
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Die Bindung, die Sie erhalten, ist in der Reihenfolge als . Ich glaube nicht , Sie können für den allgemeinen viel besser . Von der Wikipedia - Seite über Produktvariablen die Verteilung von ist wo ist eine modifizierte Bessel - Funktion. Aus (10.25.3) in der DLMF-Funktionsliste , sime so dass für ausreichend groß was Ihnen keine subgaußsche Grenze geben wird.e−ϵ ϵ→∞ ϵ wivi K0(z)/π K0 K0(t)∼e−t/t√ x P(wivi>x)∼∫∞xe−t/t√dt
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