Schätzen der Anzahl der Bälle durch sukzessives Auswählen und Markieren eines Balls

Nehmen wir an, ich habe N Bälle in einer Tasche. Bei meinem ersten Zug markiere ich den Ball und setze ihn wieder in die Tasche. Wenn ich bei meiner zweiten Ziehung einen markierten Ball aufhebe, lege ich ihn wieder in die Tasche. Wenn ich jedoch einen nicht markierten Ball aufhebe, markiere ich ihn und lege ihn in die Tasche zurück. Ich setze dies für eine beliebige Anzahl von Ziehungen fort. Was ist die erwartete Anzahl von Bällen in der Tasche bei einer Anzahl von Ziehungen und der markierten / nicht markierten Geschichte von Ziehungen?

$\mathcal{I}$$N$$\mathcal{I}$$M$$k$$M$$E(N|k)$$M,k$

Nach der Bayes-Regel haben wir

$$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$$

$P(k|N=j)$$P(k|N=j)$$k$$M$$j$

$$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$$

wobei eine Stirlingzahl der zweiten Art bezeichnet . Wir können dann berechnen$S$

$$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$$

Im Folgenden sind einige Berechnungen für verschiedene und . In jedem Fall verwenden wir eine Uniform vor$k$$M$$[k,10k]$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$$