Maximum-Likelihood-Schätzer für minimale Exponentialverteilungen

Ich bin nicht sicher, wie ich dieses Problem lösen soll.

Wir haben also zwei Folgen von Zufallsvariablen, $X_i$ und $Y_i$ für $i=1,...,n$ . Nun sind $X$ und $Y$ unabhängige Exponentialverteilungen mit den Parametern $\lambda$ und $\mu$ . Anstatt jedoch die Beobachtung $X$ und $Y$ beobachten wir stattdessen $Z$ und $W$ .

$Z=\min(X_i,Y_i)$$W=1$$Z_i=X_i$$Z_i=Y_i$$\lambda$$\mu$$Z$$W$

Jetzt weiß ich, dass das Minimum von zwei unabhängigen Exponentialen selbst exponentiell ist, wobei die Rate gleich der Summe der Raten ist, also wissen wir, dass mit dem Parameter exponentiell ist . Daher ist unser Maximum-Likelihood-Schätzer: .$Z$$\lambda+\mu$$\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$

Aber ich weiß nicht, wohin ich von hier aus gehen soll. Ich weiß, dass eine Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter , aber ich weiß nicht, wie ich dies in eine Aussage über einen der Parameter umwandeln soll. Was würde beispielsweise der MLE in Bezug auf und / oder schätzen ? Ich verstehe, dass wenn , dann , aber es fällt mir schwer, hier herauszufinden, wie ich zu einer algebraischen Aussage kommen kann.$W$$p=P(Z_i=X_i)$$\bar{W}$$\lambda$$\mu$$Z_i=X_i$$\mu=0$

UPDATE 1: Daher wurde mir in den Kommentaren gesagt, dass ich die Wahrscheinlichkeit für die gemeinsame Verteilung von und ableiten soll .$Z$$W$

Also ist wobei . Richtig? Ich weiß nicht, wie ich in diesem Fall eine gemeinsame Verteilung ableiten soll, da und nicht unabhängig sind.$f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$$p=P(Z_i=X_i)$$Z$$W$

Dies ergibt also nach der obigen Definition vonAber was jetzt? Das bringt mich nicht weiter. Wenn ich die Schritte zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit durchführe, erhalte ich: (unter Verwendung von und als Stichprobengröße für jeden Teil der Mischung ...)$f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$$W$$m$$n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

Wenn ich die partiellen Ableitungen nehme, sagt mir dies, dass meine MLE-Schätzungen für und nur der Durchschnitt der von abhängigen . Das ist,$\lambda$$\mu$$Z$$W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

und

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

Ich habe nicht genug Punkte, um einen Kommentar abzugeben, deshalb werde ich hier schreiben. Ich denke, das Problem, das Sie posten, kann aus der Perspektive einer Überlebensanalyse betrachtet werden, wenn Sie Folgendes berücksichtigen:

$X_i$ : Wahre Überlebenszeit,

$Y_i$ : ,

Beide haben eine Exponentialverteilung, wobei und unabhängig sind. Dann ist die beobachtete Überlebenszeit und der Zensurindikator.$X$$Y$$Z_i$$W_i$

Wenn Sie mit der Überlebensanalyse vertraut sind, können Sie meines Erachtens von diesem Punkt aus beginnen.

Anmerkungen: Eine gute Quelle: Analyse von Überlebensdaten durch DRCox und D.Oakes

Unten ist ein Beispiel: Angenommen, das PDF der Überlebenszeitverteilung ist . Dann ist die Überlebensfunktion: . Und die Log-Wahrscheinlichkeit ist:$f(t)=\rho e^{-\rho t}$$S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

mit Summe über unzensierte Personen ( ) bzw. zensierte Personen ( ).$u$$c$

Aufgrund der Tatsache, dass wobei h (t) die Gefahrenfunktion ist, kann dies geschrieben werden:$f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

Und der Maximum-Likelihood-Schätzer von ist:$\hat{\rho}$$\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ wobei die Gesamtzahl der Fälle von$d$$W_i=1$