Suffizienz oder Unzulänglichkeit

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Betrachten Sie eine Zufallsstichprobe wobei X i iid B e r n o u l l i ( p ) Zufallsvariablen sind, wobei p ∈ ( 0 , 1 ) ist . Überprüfen Sie, ob T ( X ) = X 1 + 2 X 2 + X 3 eine ausreichende Statistik für p ist .{X1,X2,X3}XiBernoulli(p)p∈(0,1)T(X)=X1+2X2+X3p

Erstens, wie können wir die Verteilung für ? Oder sollte es in X 1 + X 2 + X 2 + X 3 zerlegt werden und folgt dies dann B i n ( 4 , p ) ? Ich denke nicht, weil zu beachten ist, dass hier nicht alle Variablen unabhängig sind.(X1+2X2+X3)X1+X2+X2+X3Bin(4,p)

Wenn ich alternativ die Faktorisierungsbedingung verwende, indem ich nur die gemeinsame pmf von dann ist f ( X 1 , X 2 , X 3 ) = p x 1 + x 2 + x 3 ( 1 - p ) 3 - ( x 1 + x 2 + x 3 ) = [ p t(X1,X2,X3) wobeit(x)= x 1 +2 x 2 + x 3 .f(X1,X2,X3)=px1+x2+x3(1−p)3−(x1+x2+x3)=[pt(x)(1−p)3−t(x)]p−x2(1−p)x2t(x)=x1+2x2+x3

Dies zeigt, dass nicht ausreicht.T

Aber was ist, wenn ich der Definition folgen und f ( X | p ) anwenden möchte ? , um zu prüfen, ob dieses Verhältnis unabhängig vonp ist? Dann muss ich die Verteilung vong kennen. Was ist dann die Verteilung vonT(X)=X1+2X2+X3?f(X|p)g(T(X)|p)pgT(X)=X1+2X2+X3

inference point-estimation sufficient-statistics Landon Carter
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Hinweis: Sie müssen nicht die vollständige Verteilung von . Betrachten Sie zum Beispiel den Fall T ( X ) = 2 : Wie ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung von ( X | T ( X ) = 2 ) ? T(X)T(X)=2(X|T(X)=2)
whuber
Wenn dann ist ( X 1 , X 2 , X 3 ) ∈ { ( 1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 0 ) } . Also ist P ( X | T ( X ) = 2 ) = p 2 ( 1 - p ) + p ( 1T(X)=2(X1,X2,X3)∈{(1,0,1),(0,1,0)} was ist abhängig von p , richtig? P(X|T(X)=2)=p2(1−p)+p(1−p)2=p(1−p)p
Landon Carter
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Das ist die richtige Idee - aber ich verstehe nicht, warum Sie die beiden Wahrscheinlichkeiten hinzufügen. Ist nicht ein Vektor ? (Wenn Sie möchten, können Sie dieselbe Art von Berechnungen verwenden, um die vollständige Verteilung von T ( X ) zu ermitteln (es können nur die Werte 0 , 1 , 2 , 3 , 4 erreicht werden ), aber das ist nicht mehr erforderlich, oder? ))XT(X)0,1,2,3,4
whuber
Ja, genau. Vielen Dank! Wenn wir also zeigen, dass dieses Verhältnis für mindestens eine Stichprobe nicht unabhängig von , sind wir fertig! Vielen Dank. Und HAPPY NEW YEAR :)p
Landon Carter
Ja, ist ein Vektor, aber was noch wichtiger ist, X = ( X 1 , X 2 , X 3 ) und die Wahrscheinlichkeit P ( X | T ( X ) = 2 ) = P ( T ( X ) = 2 ) = P ( X = ( 1 , 0 , 1 ) ) + P ( X = ( 0)XX=(X1,X2,X3) . Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege. P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))
Landon Carter

Antworten:

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Ich hatte eine Diskussion mit "whuber" und vielleicht habe ich einen (richtigen?) Hinweis bekommen, um mir einen Beispielpunkt anzusehen: bewerte P(X=x)P(T(X)=T(x))xp

x=(1,0,1)T(1,0,1)=2P(X=(1,0,1))P(T(X)=2)

T(X)=2 iff X∈{(1,0,1),(0,1,0)}.
P(X=(1,0,1))=p2(1−p) and P(X=(0,1,0))=p(1−p)2.
P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1−p).

P(X=(1,0,1))P(T(X)=2)=p2(1−p)p(1−p)=p
pT
Landon Carter
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