Erwartung von

Ich versuche den erwarteten Wert von zu finden $e^{-x}$ wann $x$ ist logarithmisch normal. Ich weiß das wenn $x \sim N(\mu, \sigma)$ dann $E[e^x] = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}$ , die Erwartung einer logarithmischen Normalität.

Ich versuche, die Erwartung des Exponenten des Negativs einer logarithmischen Normalen zu finden: $E[e^{-e^x}]$ wo $x\sim N(\mu, \sigma)$ .

probability expected-value exponential hazard mgf user1554752
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Ihr Titel und Ihre Frage sind verwirrend! X ist normal oder X ist log normal? Diese

x \sim N (μ, σ)

$x\sim N(\mu, \sigma)$ nur vorgeschlagen

X

$X$ ist normal

Deep North

Selbststudium Tag vielleicht?

Xi'an

Ich sehe die Verwirrung nicht. Der Titel fragt nach der Erwartung von

e^{- x}

$e^{-x}$ wenn x logarithmisch normal ist. Ich habe nur klargestellt, dass ich die Antwort auf die Erwartung eines logarithmisch normalen Wohnmobils bereits kenne. Ich habe auch versucht zu klären, indem ich darum gebeten habe

E [e^{- e^{x}}]

$E[e^{-e^x}]$ das ist äquivalent zu

e^{- y}

$e^{-y}$ wenn y logarithmisch normal ist.

user1554752

Können Sie uns sagen, was Sie bisher versucht haben?

Dies scheint numerische oder ungefähre Methoden zu erfordern.

whuber

Antworten:

Annehmen $X$ ist eine logarithmisch normale Zufallsvariable. Die Frage ist über die Erwartung $\DeclareMathOperator{\E}{E} \E \exp(-X)$ . Dies hängt mit der Momenterzeugungsfunktion von zusammen $X$ ,

{M.}_{X.} (t) = E. e^{t X.}

$M_X(t) = \E e^{tX}$ Sie fragen also nach

M_{X} (- 1)

$M_X(-1)$ , die existieren, aber kein geschlossener Ausdruck ist bekannt. Sie könnten also versuchen, eine numerische Integration durchzuführen (Beispiel in R):

> f  <-  function(x) exp(-x)*dlnorm(x)
> integrate(f,0,+Inf)
0.3817565 with absolute error < 1.8e-05
> # Or by stochastic simulation:
> mean(exp(-rlnorm(100E6,0,1)))
[1] 0.3818151

Wenn Sie einige analytische Näherungen wünschen, schauen Sie sich an: Søren Asmussen, Jens Ledet Jensen, Leonardo Rojas-Nandayapa: "Über die Laplace-Transformation der logarithmischen Normalverteilung."

kjetil b halvorsen
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