X, Y univariate Zufallsvariable mit : Sind sie unabhängig?

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Sei und univariate Zufallsvariablen mit CDF so dass: wobei , sind bekannte Funktionen.X:ΩRY:ΩRFX,Y(x,y)

FX,Y(x,y)=G1(x)G2(y),(x,y)R×R
G1:RRG2:RR

Frage : Stimmt es, dass und unabhängige Wohnmobile sind?XY

Kann mir jemand ein paar Tipps geben?

Ich habe versucht: aber ich weiß nicht warum (oder ob) \ lim_ {y \ to \ infty} G_2 (y) = 1 .

FX(x)=limyFX,Y(x,y)=limyG1(x)G2(y)=G1(x)limyG2(y)
limyG2(y)=1
Guilherme Salomé
quelle
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Gilt die Beziehung für alle und oder nur für ein bestimmtes ? x y ( x , y )FX,Y(x,y)=G1(x)G2(y) xy(x,y)
Dilip Sarwate
2
Auch ist die CDF? FX,Y(x,y)
Vimal
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Versuchen Sie zu fragen, ob das Wissen, wie die Verteilungsfunktion einer bivariaten Zufallsvariablen in ein Produkt von Funktionen von und getrennt zerlegt werden kann, ausreicht, um zu dem Schluss zu kommen, dass und unabhängig sind? x y X Y.(X,Y)xyXY
whuber
Entschuldigung für die Verwirrung, ich werde die Frage jetzt bearbeiten. ist die CDF und die Eigenschaft gilt für alle . x , yFX,Y(x,y)x,y
Guilherme Salomé
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H 1 ( x ) = G 1 ( x ) 0,5 H 2 ( y ) = G 2 ( y ) 2 F X , Y ( x , y ) = H 1 ( x ) H 2 ( y ) G 1 H 1limyG2(y)=1 muss nicht wahr sein. Betrachten Sie und und betrachten Sie, dass aber beide und kann kein Limit von 1 haben.H1(x)=G1(x)0.5H2(y)=G2(y)2FX,Y(x,y)=H1(x)H2(y)G1H1
bsdfish

Antworten:

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Ja, es stimmt, dass diese Annahmen implizieren, dass und unabhängig sind.Y.XY

Vereinfachen Sie die Notation, indem Sie schreiben . Per Definition,F=FX,Y

F(x,y)=Pr(Xx,Yy).

Daher existiert die Grenze von wenn ohne Grenze zunimmt, und ist die Wahrscheinlichkeit, dass nicht überschreitet :y X xF(x,y)yXx

FX(x)=Pr(Xx)=limyF(x,y)=G1(x)limyG2(y).

Wahl eines , für die zeigt ist ungleich Null. (Ein solches muss nach dem Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit existieren, das .)F X ( x ) 0 G 2 = lim y G 2 ( y ) x lim x F X ( x ) = 1xFX(x)0G2=limyG2(y)xlimxFX(x)=1

G1(x)=FX(x)G2

für alle . Vertauschen der Rollen von und und Verwenden der analogen Notation,X Y.xXY

G2(y)=FY(y)G1

für alle . Nehmen Sie die gemeinsame Grenze, da sowohl als auch ohne gebundene Shows wachsenx yyxy

1=limx,yF(x,y)=G1G2.

Deshalb

F(x,y)=G1(x)G2(y)=FX(x)FY(y)G1G2=FX(x)FY(y),

Demonstration von und sind unabhängig.Y.XY

whuber
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Das Merkwürdige ist, dass und beide negativ bewertete Funktionen sein können, beispielsweise mit und und alles wird immer noch OK trainieren. G 2 ( ) G.G1()G2()G2 =-1G1=2G2=12
Dilip Sarwate
2
@DilipSarwate: Es ist nicht sehr merkwürdig, dass, wenn die Beziehung erfüllt, auch , so dass Sie sicher annehmen können, dass sowohl als auch positiv bewertet sind. Wenn die Beziehung erfüllt, gilt dies auch für für jedes . ( - G 1 , - G 2 ) G 1 G 2 ( G 1 , G 2 ) ( α G 1 , α - 1 G.(G1,G2)(G1,G2)G1G2(G1,G2)α R(αG1,α1G2)αR
Xi'an
@ Xi'an Ich verstehe sehr gut. Ich wollte nur betonen (da sich das OP fragte, wie man zeigen kann, dass den Grenzwert als was bedeutet, dass er und ), dass die Faktorisierung impliziert, dass und unabhängig sind, ohne dass es notwendigerweise wahr ist, dass für alle ; für alle funktioniert genauso gut. 1 y G 1 = F X G 2 = F Y F X , Y ( x , y ) = G 1 ( x ,G2(y)1yG1=FXG2=FY y G 1 ( x ) 0 , G 2 (FX,Y(x,y)=G1(x)G2(y)  x,yY G 1 ( x ) 0 , G 2 ( y ) 0 xXYG1(x)0,G2(y)0x,yx , yG1(x)0,G2(y)0x,y
Dilip Sarwate
@Dilip Das könnte sogar komplexe Werte haben, wenn Sie :-). Gi
whuber
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@ KiranK. Die gestellte Frage lautet: "Wenn eine gemeinsame CDF ausgedrückt werden kann als , sind dann und unabhängig? " worauf die Antwort Ja lautet, und es erfordert ein wenig Arbeit, um dies zu zeigen. Es wird nicht behauptet, dass und gültige CDFs sind; Wenn Sie darauf bestehen, diese Behauptung aufzunehmen, lautet die Antwort trivial Ja, da eine der Definitionen des unabhängigen Wohnmobils darin besteht, dass die gemeinsame CDF in das Produkt der marginalen CDFs einfließt. F X , Y ( x , y ) = G 1 ( x ) G 2 ( y ) x , y X Y G 1 ( x ) G 2 ( y )FX,Y(x,y)FX,Y(x,y)=G1(x)G2(y) x,yXYG1(x)G2(y)
Dilip Sarwate