Wenn Sie die Faltung von PDFs beweisen, erhalten Sie ein PDF

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Ich kämpfe mit einer Frage über die Faltung von PDFs, insbesondere, die beweist, dass zwei PDFs gegeben sind f und g, dann ihre Faltung fgwird auch ein PDF sein. Nicht-Negativität zu beweisen ist einfach, aber ich habe Mühe zu zeigen, dass die Integrale einen Wert haben1. Hier ist mein bisheriger Beweis:

Beachten Sie, dass alle diese Integrale über die Realwerte ausgewertet werden.

(fg)(x)dx=f(y)g(xy)dydx

Seiz=xy

f(y)g(z)dydz=f(y)dyg(z)dz=1

Ich habe die Antwort, aber ich glaube, ich habe einen Fehler bei der Änderung der Substitutionsgrenzen gemacht, als ich die neue Variable einführte . Jeder Rat wäre sehr dankbar.z

MathsNonWhizz
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Bei Ihrer ersten Gleichheit fehlt ein integrales Zeichen auf der rechten Seite. Es sollten zwei sein.
Paul
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An dieser Ableitung ist nichts auszusetzen: Der Jacobi ist gleich . 1
Xi'an
Wie bist du von zu ? z=xydx=dz
Alecos Papadopoulos

Antworten:

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Sie sehen eher ein Endergebnis als die Herkunft der Faltung. Ausgehend von einem früheren Punkt erleichtert der Beweis.

Wenn und unabhängige Zufallsvariablen mit den Dichten bzw. sind, dann Beachten Sie, dass die linke Seite von hat den Grenzwert als XYfg

P{X+Yz}=P{X+YzY=y}g(y)dylaw of total probability=P{XzyY=y}g(y)dy=P{Xzy}g(y)dyindependence of X and Y(1)P{X+Yz}=[zyf(x)dx]g(y)dy
(1)1z;; in der Tat ist der Wert dieses Doppelintegral auf der rechten Seite der CDF der Zufallsvariablen . Der auf angewendete Fundamentalsatz der Berechnung ergibt und so wie Sie beweisen möchten.Z=X+Y(1)
fX+Y(z)=ddzP{X+Yz}=f(zy)g(y)dy=fg
Rfg=1
Dilip Sarwate
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Von dem Buch! Sehr schöner Beweis.
Matthew Drury
Ich bevorzuge die Notation hier , die vor diesem Beitrag liegt.
Carl