Mittelwert aus zwei Normalverteilungen

Die Summe zweier unabhängiger normaler Variablen ist eine normale Zufallsvariable, z. B. wird und erhalten Sie Hier können Sie für einen Mittelwert mit gleichem Gewicht verwenden. $x\sim\mathcal{N}(\mu_x,\sigma_x^2)$ $y\sim\mathcal{N}(\mu_y,\sigma_y^2)$

α x + (1 - α) y \sim N (α μ_{x} + (1 - α) μ_{y}, α^{2} σ_{x}^{2} + (1 - α)^{2} σ_{y}^{2})

$\alpha x+(1-\alpha)y\sim\mathcal{N}(\alpha\mu_x+(1-\alpha)\mu_y,\alpha^2\sigma_x^2+(1-\alpha)^2\sigma_y^2)$

α = \frac{1}{2}

$\alpha=\frac{1}{2}$

Wenn Sie davon ausgehen, dass beide Instrumente unvoreingenommen sind , haben Sie tatsächlich eine einfachere Situation:

x \sim N (μ, σ_{x}^{2})

$x\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma_x^2)$

y \sim N (μ, σ_{y}^{2})

$y\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma_y^2)$

In diesem Fall gehen Sie davon aus, dass beide Instrumente im Durchschnitt genau sind (wie von IUPAC definiert), dh keine Verzerrung aufweisen. Ihre Genauigkeit ist jedoch unterschiedlich . $\sigma_x,\sigma_y$

Konstruieren wir einen gewichteten Schätzer

\hat{μ} = α x + (1 - α) y

$\hat\mu=\alpha x + (1-\alpha) y$

Schauen wir uns seine Eigenschaften an:

E [\hat{μ}] = α μ + (1 - α) μ = μ

$E[\hat\mu]=\alpha\mu+(1-\alpha)\mu=\mu$

Gut, es ist unabhängig vom Gewicht unvoreingenommen , dh es ist genau . $\alpha$

Mal sehen, wie genau es ist :

V a r [\hat{μ}] = α^{2} σ_{x}^{2} + (1 - α)^{2} σ_{y}^{2}

$Var[\hat\mu]=\alpha^2\sigma_x^2+(1-\alpha)^2\sigma_y^2$

Die Unabhängigkeitsannahme normaler Variablen ist normalerweise für Instrumentenmessungen sinnvoll, es sei denn, sie sind von denselben exakten zufälligen Schocks betroffen, die in bestimmten Einstellungen auftreten können, aber normalerweise nicht auftreten.

In diesem Fall ist das optimale

α = \frac{σ_{y}^{2}}{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2}}

$\alpha=\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2+\sigma_y^2}$

Sie können sehen, dass bei gleichen Genauigkeiten das Gewicht 1/2 ist . Wenn andernfalls das erste Instrument zweimal genauer ist, z. B. Sie $\alpha=1/2$ $\sigma_x=\sigma_y/2$

α = \frac{4}{4 + 1} = 0.8

$\alpha=\frac{4}{4+1}=0.8$

Aksakal
quelle

Gibt es keine Möglichkeit, μx und μy Gewichte basierend auf Varianzen dieser Verteilungen zuzuweisen? Weil wir im obigen Fall davon ausgehen, dass beide Messinstrumente gleich genau sind

Siddhesh

@Siddhesh, nein, wir gehen nicht davon aus, dass sie genauso genau sind, wie Sie sehen können, dass wir . Sie können Gewichte zuweisen, aber was ist Ihr Ziel?

σ_{x}, σ_{y}

$\sigma_x,\sigma_y$

Aksakal

@Aksakal Sie können auch hinzufügen, dass wenn X normal ist, aX + b (wobei a und b konstant sind) auch normal ist, was die Mathematik einfach und anwendbar macht.

Tim

Die Summe zweier Normalen ist genau dann normal, wenn es sich um Ränder der bivariaten Normalverteilung handelt. Die Unabhängigkeit stellt dies normalerweise sicher, aber wenn die Variablen nicht unabhängig sind, ist ihre Summe möglicherweise nicht normal.

mpiktas

@mpiktas, danke für die Korrektur, ich habe die Antwort aktualisiert

Aksakal

Mittelwert aus zwei Normalverteilungen

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