Topologien, für die das Ensemble der Wahrscheinlichkeitsverteilungen vollständig ist

Ich hatte einige Probleme damit, mein intuitives Verständnis von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit den seltsamen Eigenschaften in Einklang zu bringen, die fast alle Topologien von Wahrscheinlichkeitsverteilungen besitzen.

Betrachten Sie beispielsweise eine gemischte Zufallsvariable : Wählen Sie einen bei 0 zentrierten Gaußschen Wert mit der Varianz 1 aus und addieren Sie mit der Wahrscheinlichkeit zum Ergebnis. Eine Folge solcher Zufallsvariablen würde (schwach und in totaler Variation) zu einem Gaußschen Wert konvergieren, der bei 0 mit der Varianz 1 zentriert ist, aber der Mittelwert von ist immer und die Varianzen konvergieren gegen . Ich mag es wirklich nicht zu sagen, dass diese Sequenz deswegen konvergiert.$X_n$$\frac{1}{n}$$n$$X_n$$1$$+\infty$

Ich habe einige Zeit gebraucht, um mich an alles zu erinnern, was ich über Topologien vergessen habe, aber schließlich habe ich herausgefunden, was für mich an solchen Beispielen so unbefriedigend war: Die Grenze der Sequenz ist keine konventionelle Verteilung. Im obigen Beispiel ist die Grenze ein seltsamer "Gaußscher Wert von Mittelwert 1 und unendlicher Varianz". In topologischer Hinsicht ist der Satz von Wahrscheinlichkeitsverteilungen unter den Schwachen (und TV und allen anderen Topologien, die ich mir angesehen habe) nicht vollständig.

Ich stehe dann vor folgender Frage:

• Gibt es eine solche Topologie, dass das Ensemble der Wahrscheinlichkeitsverteilungen vollständig ist?

• Wenn nein, spiegelt diese Abwesenheit eine interessante Eigenschaft des Ensembles von Wahrscheinlichkeitsverteilungen wider? Oder ist es nur langweilig?

Hinweis: Ich habe meine Frage zu "Wahrscheinlichkeitsverteilungen" formuliert. Diese können nicht geschlossen werden, da sie zu Diracs und ähnlichen Dingen konvergieren können, die kein PDF haben. Aber unter der schwachen Topologie sind die Maßnahmen immer noch nicht abgeschlossen, daher bleibt meine Frage offen

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Wenn man die Frage aus einem engeren statistischen Blickwinkel betrachtet (das allgemeine mathematische topologische Problem ist gültig), ist die Tatsache, dass die Folge von Momenten möglicherweise nicht zu den Momenten der Grenzverteilung konvergiert, ein bekanntes Phänomen. Dies stellt im Prinzip nicht automatisch die Existenz einer gut verhaltenen begrenzenden Verteilung der Sequenz in Zweifel.

$\{X_n + n Bern(1/n)\}$$N(0,1)$