Was ist der Moment einer gemeinsamen Zufallsvariablen?

Einfache Frage, aber überraschend schwierig, online eine Antwort zu finden.

Ich weiß, dass wir für ein RV das k-te Moment als wobei die Gleichheit folgt, wenn , für eine Dichte und Lebesgue-Maß .≤ X k d P = ≤ x k f ( x ) d x p = f ≤ m f $X$

$$\int X^k \ d P = \int x^k f(x) \ dx$$ $p = f \cdot m$$f$$m$

Also, was ist der k-te Moment von ? scheint mir nicht wirklich die Antwort zu sein ...∫ ( X , Y ) d $(X,Y)$$\int (X,Y) \ d P$

Es gibt kein "the" in Bezug auf Momente, da es viele von ihnen gibt, aber Momente bivariater Variablen werden durch zwei Indizes indiziert, nicht durch einen.

Anstatt also -te Moment Sie haben -te Momente, (manchmal geschrieben , wenn das nicht mehrdeutig ist). Wir könnten von , dem Moment oder , dem Moment oder usw. sprechen .$k$$\mu_k$$(j,k)$$\mu_{j,k}$$\mu_{jk}$$\mu_{1,1}$$(1,1)$$\mu_{1,2}$$(1,2)$$\mu_{2,2}$

Diese werden manchmal als gemischte Momente bezeichnet.

Verallgemeinern Sie also Ihr eindimensionales kontinuierliches Beispiel:

$\mu_{j,k} = \int\int x^j y^k f(x,y) \, dx dy$

Dies verallgemeinert sich auf höhere Dimensionen.

Wie @ Glen_b ♦ erwähnt, generali Moment Quermoment (Konzepte betreffen: Gelenkmoment erzeugende Funktion , gemeinsame charakteristische Funktion und cumulant ) in höheren Dimensionen.

Das heißt, für mich fühlt sich diese Definition nicht als Äquivalent zum univariaten Moment an, da das Kreuzmoment eine reelle Zahl ergibt, aber für beispielsweise einen multivariaten Normalvektor ist der Mittelwert ein Vektor und die Varianz eine Matrix . Ich spekuliere, dass man höherdimensionale "Momente" unter Verwendung von Ableitungen der gemeinsamen charakteristischen Funktion , hier werden Ableitungen unter Verwendung von Rang- Tensoren verallgemeinert (die Ableitung zweiter Ordnung wäre also eine hessische Matrix).$\varphi_\mathbf{X}(\mathbf{t})=E[e^{i\mathbf{t}'\mathbf{X}}]$$k$

Es gibt viele andere interessante verwandte Themen, wie zum Beispiel: Messungen der multivariaten Schiefe und Kurtosis mit Anwendungen .