Wie ist die Verhältnisverteilung eines Abstands und des Stichprobenmittelwerts?

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Sei eine Stichprobe von iid exponentiellen Zufallsvariablen mit dem Mittelwert β , und sei X ( 1 ) , , X ( n ) die Ordnungsstatistik aus dieser Stichprobe. Sei ˉ X = 1X1,,XnβX(1),,X(n).X¯=1ni=1nXi

Definieren Sie die Abstände Es kann gezeigt werden,dass jedes W i auch exponentiell ist, mit dem Mittelwert β i = β

Wi=X(i+1)X(i)  1in1.
Wi .βi=βni

Frage: Wie würde ich vorgehen, um , wotbekannt und nicht negativ ist?P(WiX¯>t)t

Versuch: Ich weiß, dass dies gleich . Also habe ich das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit wie folgt verwendet: P ( W i > t ˉ X ) = 1 - F W i ( t ˉ X ) = 1 - 0 F W i ( t s ) f ˉ X ( s ) d s1FWi(tX¯)

P(Wi>tX¯)=1FWi(tX¯)=10FWi(ts)fX¯(s)ds,

Das wird zu einem chaotischen, aber ich denke, nachvollziehbaren Integral.

Bin ich hier auf dem richtigen Weg? Ist dies eine gültige Anwendung des Gesetzes der Gesamtwahrscheinlichkeit?

P(WitX¯>0)

P(WitX¯>0)=P((X(i+1)X(i))+tn(X(1)++X(n)))

Eine Lösung für den Exponentialfall wäre großartig, aber noch besser wäre eine Art allgemeiner Einschränkungen für die Verteilung. Oder zumindest seine Momente, die ausreichen würden, um mir Ungleichungen zwischen Chebyshev und Markov zu geben.


10(1exp(tsβi))(1Γ(n)βnsn1exp(βs))ds10(1exp((ni)tsβ))(1Γ(n)βnsn1exp(βs))ds

Ich habe eine Weile damit herumgespielt und bin mir nicht sicher, wohin ich damit gehen soll.

Shadowtalker
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Das Integral, das Sie erhalten, sieht relativ einfach aus, nachdem Sie die Begriffe in Klammern verteilt haben. Nach einer Änderung der Variablen erhalten Sie anscheinend einige Gammafunktionen.
Alex R.
@AlexR tut es zwar, aber nachdem ich es zur Hälfte durchlaufen hatte, begann ich zu vermuten, dass es nicht zwischen 0 und 1 liegen würde. Ich suche eher nach einer Bestätigung, dass ich das Problem richtig eingerichtet habe. Wenn ich mit dem Integral selbst nicht weiterkomme, frage ich Math.SE
shadowtalker

Antworten:

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X1,...,XNIID Exp(β)

X(k)=βi=1kZini+1,

Z1,Z2,...,ZnIID Exp(1)Wk=βZk+1/(nk)

X¯βnk=1nX(k)=βnk=1ni=1kZini+1=βni=1nk=inZini+1=βni=1nZi.

Um unsere Analyse zu erleichtern, definieren wir die Menge:

at(nk)nt(nk).

a>0

P(WktX¯)=P(Zk+1nktni=1nZi)=P(nnkZk+1ti=1kZi)=P((nnkt)Zk+1tikZi)=P((nnkt)ZtG)=P(ZaG),

ZExp(1)GGa(n1,1)tn/(nk)P(WktX¯)=0t<n/(nk)a>0

P(WktX¯)=0Ga(g|n1,1)agExp(z|1)dzdg=01Γ(n1)gn2exp(g)agexp(z)dzdg=01Γ(n1)gn2exp(g)(1exp(ag))dg=01Γ(n1)gn2exp(g)dg01Γ(n1)gn2exp((a+1)g)dg=1(a+1)(n1)=1(1nknt)n1.

tt=0t=nnk

Ben - Monica wieder einsetzen
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