Ich weiß, dass es sich bei regelmäßigen Problemen um den Maximum Likelihood Estimator (MLE) handeln muss, wenn wir einen besten regelmäßigen unverzerrten Schätzer haben. Aber im Allgemeinen, wenn wir eine unvoreingenommene MLE haben, wäre es auch der beste unvoreingenommene Schätzer (oder sollte ich es UMVUE nennen, solange es die kleinste Varianz hat)?
22
Antworten:
Meiner Meinung nach ist die Frage nicht wirklich kohärente, dass die Maximierung der Wahrscheinlichkeit und Unbefangenheit nicht auskommen, wenn auch nur , weil Maximum - Likelihood - Schätzer sind äquivariante , das heißt der Schätz Transformation ist der Schätzer der Transformation des Parameters, während Unparteilichkeit steht nicht unter nichtlinearen Transformationen. Daher sind Maximum-Likelihood-Schätzer fast nie unvoreingenommen, wenn "fast" über den Bereich aller möglichen Parametrisierungen betrachtet wird.
Es besteht jedoch eine direkte Antwort auf die Frage: Wenn die Schätzung der Normalvarianz Berücksichtigung , die UMVUE von ist , während die MLE von ist Sie unterscheiden sich also. Dies impliziert dasσ 2 σ 2 n = 1σ2 σ2 σ2 σ 2 n =1
gilt nicht im Allgemeinen.
Es ist ferner zu beachten, dass es, selbst wenn unverzerrte Schätzer eines Parameters ; existieren, nicht notwendigerweise einen besten unverzerrten Minimalvarianzschätzer (UNMVUE) gibt.θ
quelle
Wenn es eine ausreichende Statistik gibt, ja .
Beweis:
Somit ist eine unvoreingenommene MLE unbedingt die beste, solange eine vollständig ausreichende Statistik vorliegt.
Tatsächlich hat dieses Ergebnis jedoch fast keinen Anwendungsfall, da eine vollständig ausreichende Statistik so gut wie nie existiert. Dies liegt daran, dass (im Wesentlichen) nur für Exponentialfamilien, in denen die MLE am häufigsten voreingenommen ist (mit Ausnahme der Standortparameter von Gauß), vollständig ausreichende Statistiken vorliegen.
Die eigentliche Antwort lautet also nein .
Ein allgemeines Zählerbeispiel kann gegeben werden: Jede Ortsfamilie mit der Wahrscheinlichkeit ) mit symmetrisch um 0 ( ). Bei Stichprobengröße gilt Folgendes:p ∀ t ∈ Rpθ(x)=p(x−θ p n∀t∈Rp(−t)=p(t) n
Meistens ist die Vorherrschaft streng, daher ist die MLE nicht einmal zulässig. Es wurde bewiesen, wenn Cauchy ist, aber ich denke, es ist eine allgemeine Tatsache. Daher kann MLE nicht UMVU sein. Tatsächlich ist für diese Familien bekannt, dass es unter milden Bedingungen niemals ein UMVUE gibt. Das Beispiel wurde in dieser Frage mit Referenzen und einigen Beweisen untersucht.p
quelle
Die asymptotische Varianz von MLE ist UMVUE, dh sie erreicht eine untere Grenze von cramer rao, aber die endliche Varianz ist möglicherweise nicht UMVUE, um sicherzustellen, dass der Schätzer UMVUE ist. Es sollte eine ausreichende und vollständige Statistik oder eine Funktion dieser Statistik sein.
quelle
Kurz gesagt, ein Schätzer ist UMVUE, wenn er unvoreingenommen ist und die Funktion einer vollständigen und ausreichenden Statistik hat. (Siehe Rao-Blackwell und Scheffe)
quelle