Schätzung anzeigen konvergiert durch Auftragsstatistik zum Perzentil

Sei eine Folge von iid-Zufallsvariablen, die aus einer alpha-stabilen Verteilung mit den Parametern α = 1,5 abgetastet $X_1, X_2, \ldots, X_{3n}$ .$\alpha = 1.5, \; \beta = 0, \; c = 1.0, \; \mu = 1.0$

Betrachten Sie nun die Folge , wobei Y j + 1 = X 3 j + 1 X 3 j + 2 X 3 j + 3 - 1 für j = 0 , … , n - 1 .$Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n}$$Y_{j+1} = X_{3j+1}X_{3j+2}X_{3j+3} - 1$$j=0, \ldots, n-1$

Ich möchte das Perzentil schätzen .$0.01-$

Meine Idee ist es, eine Art Monte-Carlo-Simulation durchzuführen:

l = 1;
while(l < max_iterations)
{
  Generate $X_1, X_2, \ldots, X_{3n}$ and compute $Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n}$;
  Compute $0.01-$percentile of current repetition;
  Compute mean $0.01-$percentile of all the iterations performed;
  Compute variance of $0.01-$percentile of all the iterations performed;
  Calculate confidence interval for the estimate of the $0.01-$percentile;

  if(confidence interval is small enough)
    break;

}}

Aufrufen der Mittelwert aller der Probe Perzentile berechnet werden μ n und deren Varianz $0.01-$$\hat{\mu}_n$ die entsprechende Konfidenzintervall für berechnenμ, I zum Ortstarke Form des zentralen Grenzwertsatzes:$\hat{\sigma}^{2}_{n}$$\mu$

Sei eine Folge von iid-Zufallsvariablen mit E [ X i ] = μ und 0 < V [ X i ] = σ 2 < ∞ . Definiert die Probe als Mittelwert μ n = ( 1 / N ) Σ n i = 1 X i . Dann ( μ n - μ ) $X_1, X_2, \ldots$$E \left[ X_i \right] = \mu$$0 < V \left[ X_i \right] = \sigma^2 < \infty$$\hat{\mu}_n = (1/n) \sum_{i=1}^n X_i$ hat eine begrenzende Standardnormalverteilung, dh μ n -$(\hat{\mu}_n - \mu) / \sqrt{\sigma^{2}/n}$

$$\frac{\hat{\mu}_n - \mu}{\sqrt{\sigma^{2}/n}} \overset{n \rightarrow \infty} \longrightarrow N(0,1).$$

und Slutksys Theorem, um zu folgern, dass

$$\sqrt{n} \frac{\hat{\mu}_n - \mu}{\sqrt{\hat{\sigma}^{2}_{n}}} \overset{n \rightarrow \infty} \longrightarrow N(0,1).$$

Dann a -Konfidenzintervall für μ ist$(1-\alpha)\times 100\%$$\mu$

wobeiz1-α/2das

$$I_{\alpha} = \left[\hat{\mu}_n - z_{1- \alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^{2}_{n}}{n}} , \hat{\mu}_n + z_{1- \alpha / 2} \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^{2}_{n}}{n}} \right],$$ $z_{1- \alpha / 2}$ -Quantil der Standardnormalverteilung ist.$(1- \alpha / 2)$

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Fragen:

1) Ist mein Ansatz korrekt? Wie kann ich die Anwendung des CLT rechtfertigen? Ich meine, wie kann ich zeigen, dass die Varianz endlich ist? (Muss ich mir die Varianz von ansehen ? Weil ich nicht denke, dass sie endlich ist ...)$Y_j$

2) Wie kann ich zeigen, dass der Durchschnitt aller Stichproben $0.01-$ berechneten Perzentile gegen den wahren Wert des Perzentils konvergiert ? (Ich sollte Auftragsstatistiken verwenden, bin mir aber nicht sicher, wie ich vorgehen soll. Referenzen sind willkommen.)$0.01-$

$Y$$X$$\alpha=3/2$$\mu$$Y$$\sigma^2$$X_i$

$$\eqalign{ \sigma^2 = \operatorname{Var}(Y) &= \mathbb{E}(Y^2) - \mathbb{E}(Y)^2 \\ &= \mathbb{E}(X_1^2X_2^2X_3^2) - \mathbb{E}(X_1X_2X_3)^2 \\ &= \mathbb{E}(X^2)^3 - \left(\mathbb{E}(X)^3\right)^2 \\ &= \left(\operatorname{Var}(X) + \mathbb{E}(X)^2\right)^3 - \mu^6 \\ &= \left(\operatorname{Var}(X) + \mu^2\right)^3 - \mu^6. }$$

$\operatorname{Var}(X)$$\operatorname{Var}(X)$

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Wenden wir uns der zweiten Frage zu.

Jedes Probenquantil konvergiert gegen das wahre Quantil, wenn die Probe groß wird. Die nächsten Absätze belegen diesen allgemeinen Punkt.

$q=0.01$$0$$1$$F$$Z_q=F^{-1}(q)$$q^{\text{th}}$

$F^{-1}$$\epsilon\gt 0$$q_-\lt q$$q_+\gt q$

$$F(Z_q - \epsilon) = q_-,\quad F(Z_q + \epsilon) = q_+,$$

$\epsilon\to 0$$[q_-, q_+]$$\{q\}$

$n$$Z_{q_-}$$(q_-, n)$$q_-$$Z_{q_-}$$n$$Z_{q_-}$$nq_-$$nq_-(1-q_-)$$\Phi$$nq$

$$1-\Phi\left(\frac{nq - nq_-}{\sqrt{nq_-(1-q_-)}}\right) = 1-\Phi\left(\sqrt{n}\frac{q - q_-}{\sqrt{q_-(1-q_-)}}\right).$$

$\Phi$$\sqrt{n}$$n$$\Phi$$1$

$nq$$Z_{q_-}$$nq$$Z_{q_+}$$q$$Z_q-\epsilon$$Z_q+\epsilon$

$\epsilon$$1-\alpha$$n$$nq$$1-\alpha$$\epsilon$$Z_q$

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$q=0.50$

$q=0.01$$Y$$n=300$$Y$

library(stabledist)
n <- 3e2
q <- 0.01
n.sim <- 1e3

Y.q <- replicate(n.sim, {
  Y <- apply(matrix(rstable(3*n, 3/2, 0, 1, 1), nrow=3), 2, prod) - 1
  log(-quantile(Y, 0.01))
})
m <- median(-exp(Y.q))
hist(Y.q, freq=FALSE, 
     main=paste("Histogram of the", q, "quantile of Y for", n.sim, "iterations" ),
     xlab="Log(-Y_q)",
     sub=paste("Median is", signif(m, 4), 
               "Negative log is", signif(log(-m), 4)),
     cex.sub=0.8)
abline(v=log(-m), col="Red", lwd=2)