Erwarteter Wert des maximalen Verhältnisses von n iid normalen Variablen

Angenommen, sind iid von und bezeichnen das -te kleinste Element von . Wie könnte man das erwartete Maximum des Verhältnisses zwischen zwei aufeinanderfolgenden Elementen in nach oben begrenzen ? Das heißt, wie können Sie eine Obergrenze berechnen für: $X_1,...,X_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ $X_{(i)}$ $i$ $X_1,...,X_n$ $X_{(i)}$

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$

Die Literatur, die ich finden konnte, konzentriert sich hauptsächlich auf das Verhältnis zwischen zwei Zufallsvariablen, was zu einer Verhältnisverteilung führt, für die das PDF für zwei nicht korrelierte Normalverteilungen hier angegeben ist: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution . Dies würde es mir zwar ermöglichen, das erwartete durchschnittliche Verhältnis von $n$ Variablen zu erhöhen , aber ich kann nicht sehen, wie dieses Konzept verallgemeinert werden kann, um das erwartete maximale Verhältnis von $n$ Variablen zu finden.

expected-value order-statistics ratio maximum Max
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Wie unten erwähnt, konvergiert die Erwartung des Verhältnisses zweier aufeinanderfolgender Ordnungsstatistiken nicht. Aber wenn ja, oder wenn Sie an ihrem Unterschied interessiert sind, sagen Sie

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (X_{(i + 1)} - X_{(i)})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(X_{(i+1)} - X_{(i)} \right)\right]$ ... das Problem sollte sich in der Tat vereinfachen, um das Verhältnis (oder die Differenz) der beiden GRÖSSTEN Ordnungsstatistiken zu ermitteln, dh

E [X_{(n)} - X_{(n - 1)}]

$E[X_{(n)} -X_{(n-1)}]$ ... nur aus der Form der normalen Schwänze.

Wolfies

Die Erwartung ist undefiniert.

Das sei gemäß einer beliebigen Verteilung mit der folgenden Eigenschaft iid : Es existiert eine positive Zahl und ein positives so dass $X_i$ $F$ $h$ $\epsilon$

\begin{matrix} (1) & F (x) - F (0) \geq h x \end{matrix}

$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$

für alle . Diese Eigenschaft gilt für jede kontinuierliche Verteilung, wie eine Normalverteilung, deren Dichte kontinuierlich und bei ungleich Null ist , für dann , was uns erlaubt nimm für einen festen Wert zwischen und . $0 \lt x \lt \epsilon$ $f$ $0$ $F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$ $h$ $0$ $f(0)$

Um die Analyse zu vereinfachen, gehe ich auch von und , die beide für alle Normalverteilungen gelten. (Letzteres kann bei Bedarf durch erneutes Skalieren von sichergestellt werden . Ersteres wird nur verwendet, um eine einfache Unterschätzung einer Wahrscheinlichkeit zu ermöglichen.) $F(0) \gt 0$ $1-F(1) \gt 0$ $F$

Sei und überschätze die Überlebensfunktion des Verhältnisses als $t \gt 1$

\begin{aligned} Pr (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}} > t) & = Pr (X_{(i + 1)} > t X_{(i)}) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, X_{(i)} \leq 1 / t) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, 1 / t \geq X_{(i)} > 0, 0 \geq X_{(i - 1)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$

Diese letztere Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau des überschreitet , genau eins im Intervall liegt und das verbleibende (falls vorhanden) nicht positiv ist. In Bezug auf diese Chance gegeben durch den multinomialen Ausdruck $n-i$ $X_j$ $1$ $(0,1/t]$ $i-1$ $F$

(\binom{n}{n - i, 1, i - 1}) (1 - F (1))^{n - i} (F (1 / t) - F (0)) F (0)^{i - 1} .

$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$

Wenn , liefert die Ungleichung eine Untergrenze dafür, die proportional zu , was dies zeigt $t \gt 1/\epsilon$ $(1)$ $1/t$

Die Überlebensfunktion von hat einen Schwanz, der sich asymptotisch wie verhält : das heißt, für eine positive Zahl . $S(t)$ $X_{(i+1)}/X_{(i)}$ $1/t$ $S(t) = a/t + o(1/t)$ $a$

Per Definition ist die Erwartung einer Zufallsvariablen die Erwartung ihres positiven Teils plus die Erwartung ihres negativen Teils . Da der positive Teil der Erwartung - falls vorhanden - das Integral der Überlebensfunktion (von bis ) und ist $\max(X,0)$ $-\max(-X,0)$ $0$ $\infty$

\int_{0}^{x} S (t) d t = \int_{0}^{x} (1 / t + o (1 / t)) d t \propto \log (x),

$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$

Der positive Teil der Erwartung von divergiert. $X_{(i+1)}/X_{(i)}$

Das gleiche Argument, das auf die Variablen angewendet wird, zeigt, dass der negative Teil der Erwartung abweicht. Somit ist die Erwartung des Verhältnisses nicht einmal unendlich: Es ist undefiniert. $-X_i$

whuber
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+1 Ich habe gerade selbst einen 'einfachen' Fall ausprobiert und versucht, die Erwartungen zu bewerten ... und bin zu dem gleichen Schluss gekommen: dass das Erwartungsintegral nicht konvergiert. Vielleicht wird das OP die Frage in einer anderen Form neu formulieren, z. B. Unterschiede statt Verhältnisse

n = 3

$n = 3$

Wolfies

Erwarteter Wert des maximalen Verhältnisses von n iid normalen Variablen

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