Wavelet-Domain-Gauß-Prozesse: Was ist die Kovarianz?

Ich habe Maraun et al . Gelesen, "Nichtstationäre Gauß-Prozesse im Wavelet-Bereich: Synthese, Abschätzung und signifikante Tests" (2007), die eine Klasse von nichtstationären GPs definieren, die durch Multiplikatoren im Wavelet-Bereich spezifiziert werden können. Eine Realisierung eines solchen GP ist: wobei weißes Rauschen ist, die kontinuierliche Wavelet-Transformation in Bezug auf Wavelet , ist der Multiplikator (ein bisschen wie ein Fourier-Koeffizient) mit der Skala und der Zeit , und ist die inverse Wavelet-Transformation mit dem Rekonstruktions-Wavelet .

s (t) = M_{h} m (b, a) W_{g} η (t),

$s(t) = M_h m(b,a) W_g \eta(t)\, ,$

η (t)

$\eta(t)$

W_{g}

$W_g$

g

$g$

m (b, a)

$m(b,a)$

a

$a$

b

$b$

M_{h}

$M_h$

h

$h$

Ein zentrales Ergebnis der Arbeit ist, dass, wenn sich die Multiplikatoren nur langsam ändern, die Realisierung selbst nur "schwach" von der tatsächlichen Wahl von und abhängt . Somit spezifiziert den Prozess. Sie erstellen einige aussagekräftige Tests, um anhand von Erkenntnissen auf die Wavelet-Multiplikatoren schließen zu können. $m(b,a)$ $g$ $h$ $m(b,a)$

Zwei Fragen:

1. Wie bewerten wir die Standard - GP Wahrscheinlichkeit , das ist ? $p(D) = \mathcal{N}(0,K)$

Ich würde vermuten, dass wir effektiv eine Änderung der Koordinaten vornehmen, sodass wobei die Wavelets und die (diagonale?) Matrix der Wavelet-Koeffizienten . Sie verwenden jedoch eine nicht-orthonormale CWT, sodass ich nicht weiß, ob dies korrekt ist. $K^{-1} = W^T M^{-1} W$ $W$ $M$ $m(a,b)$

2. Wie kann diese Wavelet-Domain-GP mit einer Real-Space-GP in Beziehung gesetzt werden ? Können wir konkret aus einen Realraumkern (nicht stationär) berechnen ? $k$ $m(a,b)$

Zum Vergleich: Der Kern eines stationären Gaußschen Prozesses ist das Fourier-Dual seiner spektralen Dichte (Bochner-Theorem, siehe Rasmussen, Kapitel 4) - ein einfacher Weg, um zwischen einem Realraum-GP und einem Frequenzraum-GP zu wechseln. Hier frage ich, ob es eine solche Beziehung im Wavelet-Bereich gibt.

normal-distribution stochastic-processes gaussian-process fourier-transform wavelet cgreen
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Hast du damit irgendwohin gekommen? Ich bin nicht sicher, ob die Änderung der Variablen richtig ist, da dies widerspricht, wenn man sagt, dass ist nennt man den reproduzierenden kernel?

K_{g, h} (b - b / a, a / a) = W_{g, h} (b - b / a)

$K_{g,h}(b−b/a,a/a)=W_{g,h}(b−b/a)$

TTC

Antworten:

Der Fahrvorgang, weißes Rauschen η (t), ist unabhängig von der Wahl der Basis. In einem CWT (im Gegensatz zum DWT-Springen in Oktaven) gibt es eine gewisse Redundanz, schmale Wellenbänder überlappen sich. Das "Merkmal", das auf Signifikanz getestet wird, ist eine Varianz (Leistung), die in einer engen Frequenz über eine kurze Zeit beobachtet wird. Dies hängt natürlich mathematisch von dem gewählten Wavelet ab, ist aber nicht sehr viel - eine schmalere Bandbreite kann sich langsamer ändernde Merkmale mit größerer Empfindlichkeit erkennen, eine größere Bandbreite reagiert schneller, hat jedoch einen rauschintensiveren Hintergrund und ist weniger spezifisch.

Da dies den Wavelet-Raum misst, der über die Dauer des Wavelets integriert ist, ist die von Ihnen geschriebene Transformation für jeden "Zeitpunkt" gültig. Im Allgemeinen benötigt man Phaseninformationen, um die CWT zu invertieren. Marauns Test ist im Wesentlichen Chi-Quadrat in Kraft.
Nein. Maraun hängt vom Signal-zu-Rauschen-Verhältnis in einem Frequenzband über einen Zeitbereich ab. Dies kann viele verschiedene Realisierungen im Rauschraum haben und ist phasenunabhängig. Es ist empfindlich gegenüber einem AR (1) -Signal im Wavelet-Bereich bei einer bestimmten Frequenz, dh einer zeitlich anhaltenden Oszillation. Die CWT-Domäne tendiert dazu, eine isolierte Spitze im Breitbandrauschen zu unterdrücken.

James Prichard
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