Ich glaube, dass es unmöglich sein kann, eine kontinuierliche Verteilung über die gesamte reale Achse zu erreichen, die genau der Grenze von Chebyshev folgt.
Angenommen, der Mittelwert und die Standardabweichung einer kontinuierlichen Verteilung sind 0 und 1, oder machen Sie dies durch Neuskalierung. Dann benötige . Betrachten Sie der Einfachheit halber ; Die negativen Werte werden symmetrisch definiert. Dann ist die CDF der Verteilung . Und so ist das pdf, die Ableitung des cdf, . Offensichtlich muss dies wegen der Diskontinuität nur für definiert werden . Tatsächlich kann dies nicht überall zutreffen, oder das Integral des PDF ist nicht endlich. Wenn Diskontinuitäten vermieden werden sollen (z. B. die PDF-Katze ist nur 0 für ), muss das PDF stückweise gleich für seinP(∣X∣>x)=1/x2x>01−1/x22/x3x>0∣x∣<α∣x∣3∣x∣≥α .
Diese Verteilung verfehlt jedoch die Hypothese - sie hat keine endliche Varianz. Um eine kontinuierliche Verteilung über die reale Achse mit einer endlichen Varianz zu erhalten, müssen die erwarteten Werte von und endlich sein. Bei der Untersuchung inverser Polynome führen Schwänze, die wie , zu einem endlichen , aber zu einem undefinierten da dies ein Integral mit asymptotisch logarithmischem Verhalten beinhaltet.xx2x−3E[x]E[x2]
Chebychevs Bindung kann also nicht genau erfüllt werden. Sie können jedoch für beliebig kleines benötigen . Der Schwanz des PDFs geht wie und hat eine definierte Varianz in der Größenordnung von .P(∣X∣>x)=x−(2+ϵ)ϵx−(3+ϵ)1/ϵ
Wenn Sie bereit sind, die Verteilung nur auf einem Teil der realen Linie leben zu lassen, aber dennoch kontinuierlich zu sein, definieren Sie für funktioniert für
und
oder eine lineare Skalierung davon - aber dies ist im Grunde , was kein großer Bereich ist. Und es ist zweifelhaft, ob diese Einschränkung noch der ursprünglichen Motivation entspricht.pdf(x)=2/∣x∣3ϵ<∣x∣<Λ
ϵ=2(1−1e√)−−−−−−−−−−√
0,887<| x| <1,39Λ=ϵ=2(e√−1)−−−−−−−−√
0.887<|x|<1.39