Der ökonometrische Text behauptet, dass Konvergenz in der Verteilung Konvergenz in Momenten impliziert

Das folgende Lemma findet sich in Hayashis Ökonometrie :

Lemma 2.1 (Konvergenz in Verteilung und in Momenten): Sei der te Moment von und wobei \ alpha_ {s} endlich ist (dh eine reelle Zahl). Dann:$\alpha_{sn}$$s$$z_{n}$$\lim_{n\to\infty}\alpha_{sn}=\alpha_{s}$$\alpha_{s}$

" $z_{n} \to_{d} z$ " $\implies$ " $\alpha_{s}$ ist der $s$ te Moment von $z$ ."

Wenn beispielsweise die Varianz einer Folge von Zufallsvariablen, die in der Verteilung konvergieren, gegen eine endliche Zahl konvergiert, dann ist diese Zahl die Varianz der Grenzverteilung

Soweit ich weiß, gibt es keine zusätzlichen Annahmen zu $z_{n}$ , die aus dem Kontext abgeleitet werden können. Betrachten Sie nun eine Folge von Zufallsvariablen, die durch $z_{n} = n\mathbb{1}_{[0,\frac{1}{n}]}$ in einem einheitlichen Wahrscheinlichkeitsmaß für $[0,1]$ .

Dann ist $z_{n} \to_{d} 0$ , aber $(\forall n)\ E(z_{n}) = 1 \to 1 \neq 0 = E(0)$ .

Wenn ich das obige Lemma richtig $\{z_n\}$ liefert \ {z_n \} ein Gegenbeispiel.

Frage: Ist das Lemma falsch? Gibt es ein verwandtes Ergebnis, das allgemeine Bedingungen angibt, unter denen Konvergenz in der Verteilung Konvergenz in Momenten impliziert?

Eine ausreichende zusätzliche Bedingung ist die der einheitlichen Integrierbarkeit , dh, dass Dann erhält man, dass integrierbar ist und .

$$\lim_{M\to\infty} \sup_n \int_{|X_n|>M}|X_n|dP= \lim_{M\to\infty} \sup_n E [|X_n|1_{|X_n|>M}]=0.$$ $X$$\lim_{n\to\infty}E[X_n]=\mathbb{E}[X]$

Heuristisch schließt diese Bedingung aus, dass es immer noch "extreme" Beiträge zum Integral (Erwartung) asymptotisch gibt.

Dies ist in der Tat genau das, was in Ihrem Gegenbeispiel passiert, da - mit verschwindender Wahrscheinlichkeit - den divergierenden Wert kann . Etwas genauer für alle . Daher nicht einheitlich gegen Null, da wir kein finden können, so dass für alle , alle und alle .$z_n$$n$$E[|z_n|1_{\{|z_n|>M\}}]=E[z_n1_{\{z_n>M\}}]=1$$n>M$$E[z_n1_{\{z_n>M\}}]$$N$$E[z_n1_{\{z_n>M\}}]<\epsilon$$n\geq N$$\epsilon>0$$M$

Eine ausreichende Bedingung für eine einheitliche Integrierbarkeit ist für einige .

$$\sup_n E[|X_n|^{1+\epsilon}]<\infty$$ $\epsilon>0$

Und obwohl die Nichterfüllung der ausreichenden Bedingung natürlich kein Beweis für das Fehlen einer einheitlichen Integrierbarkeit ist, ist es noch direkter zu sehen, dass diese Bedingung nicht erfüllt ist, da das offensichtlich kein endliches über .

$$E[|X_n|^{1+\epsilon}]=n^\epsilon,$$ $\sup$$n$

In der Tat ist es ein bekanntes Erratum dieses Buches (siehe seine Website in der Errata .pdf), dass das spezifische Lemma nicht die momentbegrenzte Bedingung angibt

$$\exists \; \delta : E(|z_n|^{s+\delta}) < M < \infty\;\; \forall n$$