Man beweise, dass für nicht negative Zufallsvariablen nicht abnimmt

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Schreiben Sie anstelle von um hervorzuheben, dass es sich um eine beliebige positive reelle Zahl handeln kann und nicht nur um eine Ganzzahl, wie durch " " vorgeschlagen.pnn

Lassen Sie uns einige vorläufige Standardtransformationen durchgehen , um nachfolgende Berechnungen zu vereinfachen. Es macht keinen Unterschied für das Ergebnis, zu skalieren . Das Ergebnis ist trivial, wenn fast überall Null ist. Nehmen wir also an, ist ungleich Null, woher auch für alle ungleich Null ist . Fixiere nun und dividiere durch so dass ohne Verlust der Allgemeinheit.XXE(X)E(Xp)ppXE(Xp)1/p

(1)E(Xp)=1,

So könnte die Argumentation ablaufen, wenn Sie versuchen, es beim ersten Mal herauszufinden und nicht zu hart zu arbeiten. Ich werde Ihnen detaillierte Begründungen für jeden Schritt überlassen.

Der Ausdruck nimmt genau dann nicht ab, wenn sein Logarithmus nicht abnimmt. Dieses Protokoll ist differenzierbar und nimmt daher nur dann nicht ab, wenn seine Ableitung nicht negativ ist. Unter Ausnutzung wir diese Ableitung berechnen (indem wir innerhalb der Erwartung differenzieren) ( 1 )E(Xp)1/p(1)

ddplog(E(Xp)1/p)=1p2logE(Xp)+E(XplogX)E(Xp)=1pE(Xplog(Xp)).

Wenn Sie schreiben , ist die rechte Seite genau dann nicht negativ, wenn ist. Dies ist jedoch eine unmittelbare Folge von Jensens Ungleichung, die auf die Funktion angewendet wird (stetig in den nichtnegativen Realzahlen und differenzierbar in den positiven Realzahlen), da eine zweimalige Differenzierung für , wobei eine konvexe Funktion für die nicht negativen Realzahlen ist und ergibtE ( Y log ( Y ) ) 0. f ( y ) = y log ( y )Y=Xp

E(Ylog(Y))0.
f(y)=ylog(y)y > 0 f
f(y)=1y>0
y>0f

E(YlogY)=E(f(Y))f(E(Y))=f(1)=0,

QED .


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Edward Nelson bietet eine wunderbar prägnante Demonstration. Definieren Sie als (Standard-) Notation für (und ). Wenn er beobachtet, dass die Funktion konvex ist, wendet er Jensens Ungleichung an, um zu schließen||x||p=E(|x|p)1/p1<p<||x||=sup|x|f(x)=|x|p

|E(x)|pE(|x|p).

Hier ist der Rest der Demonstration in seinen eigenen Worten:

Aufdies ergibt und wird auf angewendet , wobei ergibt so dass eine zunehmende Funktion von für .|x|

||x||1||x||p,
|x|r1r<
||x||r||x||rp,
||x||pp1p

Referenz

Edward Nelson, radikal elementare Wahrscheinlichkeitstheorie. Princeton University Press (1987): p. 5.

whuber
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Würden Sie mir erklären, wie Sie die Ableitung vonlog(E(Xp)1p)
Dhamnekar Winod
Ich habe die Produktregel verwendet, weilIch habe den zweiten Faktor im Produkt durch Differenzieren unter dem Integralzeichen unterschieden.
log(E(Xp)1/p)=1p logE(Xp).
whuber
Wie sind Sie zu ? Sie haben geschrieben, Sie teilen X durchE ( X p ) 1E(Xp)=1E(Xp)1p
Dhamnekar Winod
Warum haben Sie den zweiten Term in der Ableitung von mit1log(E(Xp)(1p)1p
Dhamnekar Winod
Ich habe es getan: es hat einen anderen Faktor von aufgehoben . Aber ist es wichtig für das Ergebnis? Schließlich müssen wir nur das Vorzeichen der Ableitung kennen. p
whuber