Man beweise, dass für nicht negative Zufallsvariablen nicht abnimmt

Wie kann man für eine nichtnegative Zufallsvariable beweisen, dass in abnimmt ?$X$$E(X^n)^{\frac1n}$$n$

Schreiben Sie anstelle von um hervorzuheben, dass es sich um eine beliebige positive reelle Zahl handeln kann und nicht nur um eine Ganzzahl, wie durch " " vorgeschlagen.$p$$n$$n$

Lassen Sie uns einige vorläufige Standardtransformationen durchgehen , um nachfolgende Berechnungen zu vereinfachen. Es macht keinen Unterschied für das Ergebnis, zu skalieren . Das Ergebnis ist trivial, wenn fast überall Null ist. Nehmen wir also an, ist ungleich Null, woher auch für alle ungleich Null ist . Fixiere nun und dividiere durch so dass ohne Verlust der Allgemeinheit.$X$$X$$\mathbb{E}(X)$$\mathbb{E}(X^p)$$p$$p$$X$$\mathbb{E}(X^p)^{1/p}$

$$\mathbb{E}(X^p) = 1\tag{1},$$

So könnte die Argumentation ablaufen, wenn Sie versuchen, es beim ersten Mal herauszufinden und nicht zu hart zu arbeiten. Ich werde Ihnen detaillierte Begründungen für jeden Schritt überlassen.

Der Ausdruck nimmt genau dann nicht ab, wenn sein Logarithmus nicht abnimmt. Dieses Protokoll ist differenzierbar und nimmt daher nur dann nicht ab, wenn seine Ableitung nicht negativ ist. Unter Ausnutzung wir diese Ableitung berechnen (indem wir innerhalb der Erwartung differenzieren) ( 1 $\mathbb{E}(X^p)^{1/p}$$(1)$

$$\frac{d}{dp}\log\left( \mathbb{E}(X^p)^{1/p} \right) = -\frac{1}{p^2}\log\mathbb{E}(X^p) + \frac{\mathbb{E}(X^p \log X)}{\mathbb{E}(X^p)} = \frac{1}{p}\mathbb{E}(X^p \log(X^p)).$$

Wenn Sie schreiben , ist die rechte Seite genau dann nicht negativ, wenn ist. Dies ist jedoch eine unmittelbare Folge von Jensens Ungleichung, die auf die Funktion angewendet wird (stetig in den nichtnegativen Realzahlen und differenzierbar in den positiven Realzahlen), da eine zweimalige Differenzierung für , wobei eine konvexe Funktion für die nicht negativen Realzahlen ist und ergibtE ( Y log ( Y ) ) ≥ 0. f ( y ) = y log ( y $Y=X^p$

$$\mathbb{E}(Y\log(Y)) \ge 0.$$ $f(y) = y\log(y)$y > 0 $$f^{\prime\prime}(y) = \frac{1}{y}\gt 0$$ $y\gt 0$$f$

$$\mathbb{E}(Y \log Y) = \mathbb{E}(f(Y)) \ge f\left(\mathbb{E}(Y)\right) = f(1) = 0,$$

QED .

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Edward Nelson bietet eine wunderbar prägnante Demonstration. Definieren Sie als (Standard-) Notation für (und ). Wenn er beobachtet, dass die Funktion konvex ist, wendet er Jensens Ungleichung an, um zu schließen$||x||_p = \mathbb{E}(|x|^p)^{1/p}$$1 \lt p \lt \infty$$||x||_\infty = \sup |x|$$f(x) = |x|^p$

$$|\mathbb{E}(x)|^p \le \mathbb{E}(|x|^p).$$

Hier ist der Rest der Demonstration in seinen eigenen Worten:

Aufdies ergibt und wird auf angewendet , wobei ergibt so dass eine zunehmende Funktion von für .$|x|$

$$||x||_1 \le ||x||_p,$$ $|x|^r$$1 \le r \lt \infty$ $$||x||_r \le ||x||_{rp},$$ $||x||_p$$p$$1 \le p \le \infty$

Referenz

Edward Nelson, radikal elementare Wahrscheinlichkeitstheorie. Princeton University Press (1987): p. 5.