Bedingte Erwartung einer verkürzten RV-Ableitung, Gumbelverteilung (logistischer Unterschied)

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Ich habe zwei Zufallsvariablen, die unabhängig und identisch verteilt sind, dh :ϵ1,ϵ0iidGumbel(μ,β)

F(ϵ)=exp(exp(ϵμβ)),

f(ϵ)=1βexp((ϵμβ+exp(ϵμβ))).

Ich versuche zwei Größen zu berechnen:

  1. Eϵ1Eϵ0|ϵ1[c+ϵ1|c+ϵ1>ϵ0]
  2. Eϵ1Eϵ0|ϵ1[ϵ0|c+ϵ1<ϵ0]

Ich komme zu einem Punkt, an dem ich eine Integration für etwas in der Form durchführen muss: eex , das in geschlossener Form kein Integral zu haben scheint. Kann mir jemand dabei helfen? Vielleicht habe ich etwas falsch gemacht.

Ich denke, es sollte definitiv eine geschlossene Lösung geben. (EDIT: Auch wenn es keine geschlossene Form ist, aber es würde eine Software geben, um das Integral schnell zu bewerten [wie Ei (x)], das wäre in Ordnung, nehme ich an.)


BEARBEITEN:

Ich denke mit einer Änderung der Variablen, lassen Sie

y=exp(ϵ1μβ)
und

μβlny=ϵ1

Dies wird bzw. .[ 0 ,[0,)[0,exp(ϵ0cμβ)]

|J|=|dϵdy|=βy . Dann habe ich unter dem Wechsel der Variablen (1) auf ...

011ex(μβlnxc[c+μβlny]eydy)exdx

Es könnte ein Algebra-Fehler sein, aber ich kann dieses Integral immer noch nicht lösen ...


VERWANDTE FRAGE: Erwartung des Maximums der iid Gumbel-Variablen

wolfsatthedoor
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Es gibt definitiv keine geschlossene Lösung. Warum hast du das Gefühl, dass es etwas geben muss?
Gordon Smyth
@GordonSmyth Woher weißt du, dass es keine geschlossene Lösung gibt?
Wolfsatthedoor

Antworten:

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Da die Parameter der Gumbel-Verteilung Position bzw. Skalierung sind, vereinfacht sich das Problem bei der Berechnung von wobei und zugeordnet sind , . Der Nenner ist in geschlossener Form verfügbar (μ,β)

E[ϵ1|ϵ1+c>ϵ0]=+xF(x+c)f(x)dx+F(x+c)f(x)dx
fFμ=0β=1
+F(x+c)f(x)dx=+exp{exp[xc]}exp{x}exp{exp[x]}dx=a=ec+exp{(1+a)exp[x]}exp{x}dx=11+a[exp{(1+a)ex}]+=11+a
Der Zähler enthält ein Exponentialintegral, da (laut WolframAlpha-Integrator ) = \ frac {\ gamma + \ log (1 + a)} {1 + a} \ end {align *} Daher E[ϵ1| ϵ1+c>ϵ0]=γ+log(1+e-c)UX=-log{-log(U)}
+xF(x+c)f(x)dx=+xexp{(1+a)exp[x]}exp{x}dx=z=ex0+log(z)exp{(1+a)z}dz=11+a[Ei((1+a)z)log(z)e(1+a)z]0=γ+log(1+a)1+a
E[ϵ1|ϵ1+c>ϵ0]=γ+log(1+ec)
Dieses Ergebnis kann leicht durch Simulation überprüft werden, da die Erzeugung einer Gumberl-Variation der Transformation von a entspricht Einheitliche (0,1) Variable, , als . Monte Carlo und theoretische Mittel stimmen überein:UX=log{log(U)}

Angemessenheit von Monte Carlo und theoretischen Mitteln, wenn $ c $ zwischen -2 und 2 variiert, mit logarithmischen Achsen, basierend auf 10⁵-Simulationen

Xi'an
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Wussten Sie, dass epsilon0 auch ein Wohnmobil ist?
Wolfsatthedoor