Motivation

Leeb & Pötscher (2005) schreiben im Zusammenhang mit der Inferenz nach der Modellauswahl :

Obwohl seit langem bekannt ist, dass die Einheitlichkeit (zumindest lokal) der Parameter ein wichtiges Thema bei der asymptotischen Analyse ist, wurde diese Lektion in der täglichen Praxis der ökonometrischen und statistischen Theorie oft vergessen, wo wir uns oft damit zufrieden geben, punktweise asymptotische Ergebnisse zu beweisen ( dh Ergebnisse, die für jeden festen wahren Parameterwert gelten). Diese Amnesie - und die daraus resultierende Praxis - hat glücklicherweise keine dramatischen Konsequenzen, solange nur ausreichend „regelmäßige“ Schätzer in ausreichend „regulären“ Modellen berücksichtigt werden. Da jedoch Schätzer nach der Modellauswahl ziemlich „unregelmäßig“ sind, tauchen die Gleichförmigkeitsprobleme hier mit aller Macht auf.

Hintergrund

Einheitliche Konvergenz

Angenommen , ein Schätzer Konvergenzen einheitlich (WRT ) in Verteilung zu einem gewissen Zufallsvariable . Dann können wir für eine gegebene Genauigkeit immer eine Stichprobengröße so dass für jedes der Abstand der Verteilung von und die Verteilung von ( dh die Grenzverteilung) wird höchstens für jedes .Nεα θ n(α)Zεn>$\hat\theta_n(\alpha)$$\alpha$$Z$$\varepsilon>0$$N_{\varepsilon}$$\alpha$$\hat\theta_{n}(\alpha)$$Z$$\varepsilon$$n>N$

Dies kann in der Praxis nützlich sein:

1. Wenn wir ein Experiment entwerfen, können wir die Ungenauigkeit auf einem gewünschten, willkürlich kleinen Niveau begrenzen, indem wir das entsprechende .N $\varepsilon$$N_{\varepsilon}$
2. Für eine gegebene Stichprobe der Größe können wir um die Ungenauigkeit zu begrenzen.ε $N$$\varepsilon_N$

Punktweise (aber ungleichmäßige) Konvergenz

Auf der anderen Seite sei angenommen , einen Schätzer konvergiert in einer punktweisen Art und Weise (WRT ) - aber nicht einheitlich - in Verteilung bis zu einem gewissen Zufallsvariable . Aufgrund der Ungleichmäßigkeit existiert eine Genauigkeit so dass wir für jede Stichprobengröße immer einen Wert so dass der Abstand der Verteilung von und der Verteilung von (dh der Grenzverteilung) wird für einige mindestens .αZεN>0NαN ψ n(αN)Zεn>$\hat\psi_n(\alpha)$$\alpha$$Z$$\varepsilon_N>0$$N$$\alpha_N$$\hat\psi_{n}(\alpha_N)$$Z$$\varepsilon$$n>N$

Einige Gedanken:

1. Dies sagt uns nicht, wie groß das wird.$\varepsilon_N$
2. Wenn wir ein Experiment entwerfen, können wir unsere Ungenauigkeit nicht länger an ein beliebiges binden, indem wir ein geeignetes . Aber vielleicht könnten wir auf einer niedrigen Ebene binden , dann müssten wir uns darüber keine Sorgen machen. Aber wir sind möglicherweise nicht immer in der Lage, es dort zu binden, wo wir es wollen.N ε ε $\varepsilon$$N_{\varepsilon}$$\varepsilon_N$
3. Wir können finden oder nicht, um die Ungenauigkeit für eine gegebene Stichprobe der Größe zu begrenzen .$\varepsilon_N$$N$

Fragen

1. Macht das Fehlen einer einheitlichen Konvergenz den Schätzer weitgehend unbrauchbar?
   (Ich denke, die Antwort ist "nein", da sich so viele Artikel auf punktweise Konvergenz konzentrieren ...)
2. Wenn nein, was sind dann einige grundlegende Beispiele, bei denen der ungleichmäßig konvergente Schätzer nützlich ist?

Verweise:

• Leeb, H. & Pötscher, BM (2005). Modellauswahl und Inferenz: Fakten und Fiktion. Econometric Theory, 21 (01), 21-59.

Es ist schwierig, eine endgültige Antwort zu geben, da "nützlich" und "nutzlos" nicht mathematisch und in vielen Situationen subjektiv sind (in einigen anderen könnte man versuchen, die Nützlichkeit zu formalisieren, aber solche Formalisierungen sind dann wieder offen für Diskussionen).

Hier sind einige Gedanken.

(a) Eine gleichmäßige Konvergenz ist eindeutig viel stärker als eine punktweise Konvergenz; Bei punktweiser Konvergenz gibt es keine Garantie dafür, dass Sie sich für ein bestimmtes irgendwo in der Nähe des gewünschten Ortes befinden, wenn Sie den wahren Parameterwert nicht kennen .$n$

(b) Die punktweise Konvergenz ist immer noch stärker als überhaupt keine Konvergenz.

(c) Wenn Sie ein gegebenes , das nicht riesig ist und eine einheitliche Konvergenz aufweist, ist die einheitliche Grenze, die Sie tatsächlich mit dem zeigen können, das Sie haben, möglicherweise nicht gut. Dies bedeutet nicht, dass Ihr Schätzer schlecht ist, sondern dass die einheitliche Konvergenzgrenze nicht garantiert, dass Sie nahe genug am wahren Wert sind. Sie können immer noch sein.$n$$n$

(d) Falls wir kein einheitliches Konvergenzergebnis haben, gibt es verschiedene Möglichkeiten:

i) Eine einheitliche Konvergenz mag tatsächlich gelten, aber es ist noch niemandem gelungen, dies zu beweisen.

ii) Eine einheitliche Konvergenz kann verletzt werden, sie kann jedoch nur in Bereichen des Parameterraums verletzt werden, die nicht realistisch sind, so dass das tatsächliche Konvergenzverhalten möglicherweise in Ordnung ist. Nur weil Sie keinen Satz haben, der garantiert, dass Sie nahe am wahren Wert sind, heißt das nicht, dass Sie weit sind.

iii) Eine einheitliche Konvergenz kann verletzt werden und Sie können in allen möglichen realistischen Situationen auf unregelmäßiges Verhalten stoßen. Pech.

iv) Es kann sogar kleine Situationen geben, in denen für das in der Praxis tatsächlich verfügbare etwas, das überhaupt nicht konvergent ist, besser ist als etwas, das punktweise oder gleichmäßig konvergent ist.$n$$n$

(e) Nun können Sie sagen, dass eine einheitliche Konvergenz eindeutig nützlich ist, weil sie uns eine Garantie mit einem klaren praktischen Wert gibt und ohne diese wir keine Garantie haben. Aber abgesehen von der Tatsache, dass ein Schätzer gut sein kann, auch wenn wir nicht garantieren können, dass er gut ist, tun wir dies auch niehaben eine Garantie, die in der Praxis wirklich gilt, weil in der Praxis Modellannahmen nicht zutreffen und die Situation tatsächlich komplizierter ist als zu sagen: OK, Modell P ist falsch, aber es gibt ein echtes Modell Q, das einfach zu kompliziert ist und möglicherweise ist gezähmt durch ein nichtparametrisches einheitliches Konvergenzergebnis; Nein, alle diese Modelle sind Idealisierungen, und nichts ist in erster Linie oder folgt einer regelmäßigen Abhängigkeit oder einem Nichtidentitätsmuster (nicht einmal die Zufallszahlen, die wir in Simulationen verwenden, sind tatsächlich Zufallszahlen). So gilt auch die einheitliche Konvergenzgarantie für eine idealisierte Situation, und die Praxis ist eine andere Geschichte. Wir verwenden Theorie wie einheitliche Konvergenz, um Qualitätsaussagen über Schätzer in idealisierten Situationen zu treffen, da dies die Situationen sind, mit denen wir umgehen können. Wir können wirklich nur in solchen idealisierten Situationen sagen:

Entschuldigung, keine konkreten Beispiele, aber in jedem Setup, in dem Sie keinen einheitlich konvergenten Schätzer finden, sondern nur einen punktweise konvergenten, hilft Ihnen wahrscheinlich der punktweise konvergente (manchmal kann Ihnen ein Schätzer helfen, dessen punktweise Konvergenz Sie nicht einmal zeigen können auch oder noch mehr). Dann mag es nicht sein, aber aus irgendeinem praktischen Grund (Problem mit Modellannahmen, kleinem , Messung, was auch immer) kann das einheitlich konvergente auch in einer bestimmten Situation irreführend sein. $n$