Wie lässt sich am einfachsten feststellen, dass die folgende Aussage zutrifft?
Angenommen, . Zeige .
Beachten Sie, dass .
Mit bedeutet dies, dass .
Es ist leicht zu erkennen, dass . Darüber hinaus haben wir auch das unter der Parametrisierung
Lösung in Xi'ans Antwort : Unter Verwendung der Notation in der ursprünglichen Frage:
Daraus erhalten wir 1) .
self-study
distributions
exponential
order-statistics
jacobian
Klarinettist
quelle
quelle
Antworten:
Der Beweis ist in den Büchern der Mutter aller zufälligen Generationen, Devroye's Non-Uniform Random Variate Generation , auf S.211 (und es ist sehr elegant!) Zu finden:
Beweis. Da the gemeinsame Dichte der Ordnungsstatistik schreibt als Setzen von , die Änderung der Variablen von bis haben einen konstanten Jacobian [übrigens gleichdies muss aber nicht berechnet werden] und damit die Dichte von (E(1),…,E(n
Eine Alternative, die mir Gérard Letac vorgeschlagen hat, besteht darin, zu überprüfen, ob dieselbe Verteilung hat wie (aufgrund der memorylosen Eigenschaft), wodurch die Herleitung von einfach.( E 1
quelle
Ich lege hier dar, was in den Kommentaren von @jbowman vorgeschlagen wurde.
Sei eine Konstante . Lassen folgen einem und betrachten . Danna≥0 Yi Exp(1) Zi=Yi−a
Dies ist die Verteilungsfunktion von .Exp(1)
Beschreiben wir dies: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein rv in ein bestimmtes Intervall fällt (der Zähler in der letzten Zeile), hängt nur von Länge des Intervalls und nicht an der Stelle, an der sich dieses Intervall in der realen Linie befindet.Exp(1) Dies ist eine Inkarnation der Eigenschaft " memorylessness " der Exponentialverteilung, hier in einer allgemeineren Umgebung, frei von Zeitinterpretationen (und gilt für die Exponentialverteilung im Allgemeinen).
Nun wird durch Konditionierung auf wir zwingen nicht-negativ zu sein, und das ist entscheidend, das erhaltene Ergebnis hält . Wir können also folgendes sagen:{Yi≥a} Zi ∀a∈R+
Wenn , dann .Yi∼Exp(1) ∀Q≥0:Zi=Yi−Q≥0 ⟹ Zi∼Exp(1)
Können wir ein , das frei ist, alle nicht negativen reellen Werte anzunehmen und für das die erforderliche Ungleichung immer gilt (fast sicher)? Wenn wir können, können wir auf das konditionierende Argument verzichten.Q≥0
Und in der Tat können wir. ist die Statistik minimaler Ordnung , , . So haben wir erhaltenQ=Y(1) Pr(Yi≥Y(1))=1
Das bedeutet, dass
Wenn also die Wahrscheinlichkeitsstruktur von unverändert bleibt, wenn wir die Statistik minimaler Ordnung subtrahieren, folgt, dass die Zufallsvariablen und wobei unabhängig sind, sind auch unabhängig, da die mögliche Verbindung zwischen ihnen, keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsstruktur hat.Yi Zi=Yi−Y(1) Zj=Yj−Y(1) Yi,Yj Y(1)
Dann wird die Summe enthält uiv Zufallsvariablen (und eine Null), und so∑ni=1(Yi−Y(1)) n−1 Exp(1)
quelle