Erwarteter Protokollwert der nichtzentralen Exponentialverteilung

Angenommen, ist nicht zentral exponentiell verteilt mit Position und Rate . Was ist dann ? $X$ $k$ $\lambda$ $E(\log(X))$

Ich weiß, dass für die Antwort wobei die Euler-Mascheroni-Konstante ist. Was ist, wenn ? $k=0$ $-\log(\lambda) - \gamma$ $\gamma$ $k > 0$

mean expected-value integral Neil G.
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Haben Sie versucht, sich in Mathematica zu integrieren?

Ich gehe von (wenn die Dichte als wird), andernfalls mit einer Wahrscheinlichkeit> 0, mit schrecklichen Konsequenzen für .

k > 0

$k > 0$

λ \exp {- λ (x - k)}

$\lambda \exp\{-\lambda(x-k)\}$

x < 0

$x < 0$

E \log x

$\mathbb{E}\log x$

Jbowman

Ich habe . Mathematica ist schneller, wenn Sie den Befehl zum Festlegen des Parameterraums verwenden.

E [\log (X)] = e^{k λ} Γ (0, k λ) + \log (k)

${\mathbb E}[\log(X)]=e^{k\lambda}\Gamma(0,k\lambda)+\log(k)$ Assumptions

Zählt die obere unvollständige Gammafunktion als geschlossene Form ? (Für mich nicht.) Dies versteckt nur bequem ein Integral über die Notation.

Kardinal

@NeilG Dies ist der Mathematica-Code Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]. Sie können es einfach kopieren und in eine .nb-Datei einfügen. Ich bin mir nicht sicher, ob das Wolfram Alpha Einschränkungen zulässt.

Antworten:

Das gewünschte Integral kann durch Brute-Force-Manipulationen zur Unterwerfung gebracht werden; hier versuchen wir stattdessen, eine alternative Ableitung mit einem etwas probabilistischeren Geschmack zu geben.

Sei eine nichtzentrale exponentielle Zufallsvariable mit dem Positionsparameter und dem Ratenparameter . Dann ist wobei . $X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$ $k > 0$ $\lambda$ $X = Z + k$ $Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

Beachten Sie, dass usw., unter Verwendung einer Standard Tatsache , zur Berechnung der Erwartung nicht negativen Zufallsvariablen , Aber auf seit und so ist wobei die letzte Gleichheit aus der Substitution folgt $\log(X/k) \geq 0$

E \log (X / k) = \int_{0}^{\infty} P (\log (X / k) > z) d z = \int_{0}^{\infty} P (Z > k (e^{z} - 1)) d z .

$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$

P (Z > k (e^{z} - 1)) = \exp (- λ k (e^{z} - 1))

$\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$

z \geq 0

$z \geq 0$

Z \sim E x p (λ)

$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

E \log (X / k) = e^{λ k} \int_{0}^{\infty} \exp (- λ k e^{z}) d z = e^{λ k} \int_{λ k}^{\infty} t^{- 1} e^{- t} d t,

$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$

t = λ k e^{z}

$t = \lambda k e^z$ unter Hinweis darauf, dass .

d z = d t / t

$\rd z = \rd t / t$

Das Integral auf der rechten Seite der letzten Anzeige ist per Definition nur und somit wie durch die Mathematica-Berechnung von @ Procrastinator in den Kommentaren zur Frage bestätigt. $\Gamma(0,\lambda k)$

E \log X = e^{λ k} Γ (0, λ k) + \log k,

$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$

NB : Die äquivalente Notation wird häufig auch anstelle von . $\mathrm E_1(x)$ $\Gamma(0,x)$

Kardinal
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+1 @Michael Chernick Es scheint, dass nicht jeder faul ist;).

Das ist wirklich toll. Ich möchte nur darauf hinweisen, dass viele Implementierungen der unvollständigen Gammafunktion den ersten Parameter so einschränken, dass er streng positiv ist. Die Identität löst dieses kleine Problem.

Γ (0, z) = - Ei (- z)

$\Gamma(0, z) = -\operatorname{Ei}(-z)$

Neil G