Was ist mit der von einer Zufallsvariablen erzeugten

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Im Verlauf meines (Selbst-) Studiums der Statistik bin ich häufig auf die Terminologie " Algebra, die durch eine Zufallsvariable erzeugt wird " gestoßen. Ich verstehe die Definition auf Wikipedia nicht , aber vor allem verstehe ich die Intuition dahinter nicht. Warum / wann brauchen wir Algebren, die durch Zufallsvariablen erzeugt werden? Was ist ihre Bedeutung? Ich kenne folgendes:σσ

  • Eine Algebra auf einer Menge ist eine nicht leere Sammlung von Teilmengen von die enthält und unter Komplement und unter abzählbarer Vereinigung geschlossen ist.σΩΩΩ
  • Wir führen Algebren ein, um Wahrscheinlichkeitsräume auf unendlichen Probenräumen zu bilden. Insbesondere wenn unzählig unendlich ist, wissen wir, dass es nicht messbare Teilmengen geben kann (Mengen, für die wir keine Wahrscheinlichkeit definieren können). Wir können also nicht einfach die Potenzmenge von als unsere Menge von Ereignissen . Wir brauchen eine kleinere Menge, die immer noch groß genug ist, um die Wahrscheinlichkeit von interessanten Ereignissen zu definieren, und wir können über die Konvergenz einer Folge von Zufallsvariablen sprechen.σΩΩ P(Ω)F

Kurz gesagt, ich glaube, ich verstehe die intuitiv . Ich hätte gerne ein ähnliches Verständnis für die durch Zufallsvariablen erzeugten Algebren: Definition, warum wir sie brauchen, Intuition, ein Beispiel ...σσ

DeltaIV
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Eine effektive (und intuitiv sinnvolle) Charakterisierung ist, dass dies die gröbste Sigma-Algebra auf , die die Zufallsvariable messbar macht. Ω
whuber
@whuber gröbste bedeutet kleinste? Mit anderen Worten, ich habe meinen Wahrscheinlichkeitsraum , ich habe ein RV X : Ω R (das durch Definition einer Zufallsvariablen messbar ist), und σ ist die kleinste Teilmenge von F, so dass X immer noch ist messbar. Ok, aber das wirft die Frage auf, was es intuitiv bedeutet, dass X messbar ist :-) Ist es sinnvoll zu sagen, dass wir die Wahrscheinlichkeit aller Ereignisse der Art a < X < b und Vereinigungen / Schnittmengen definieren können? (Ω,F,P)X:ΩRσFXXa<X<b
DeltaIV
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Der Blick auf ein einzelnes bietet wenig Einsicht in die Messbarkeit. Dieses Konzept kommt zum Tragen, wenn Sie Sammlungen von Zufallsvariablen untersuchen - stochastische Prozesse. Die einfachsten stochastischen Prozesse (wie z. B. endliche diskrete binomische Zufallsbewegungen) liefern wiederum eine interpretierbare Einstellung, in der die von allen Variablen X 0 , X 1 , ... , X t erzeugte Sigmaalgebra als "die verfügbaren Informationen" aufgefasst werden kann zur (und einschließlich) Zeit t . " XX0,X1,,Xtt
Whuber
@whuber sorry, ich verstehe nicht :) Ich würde mich freuen, wenn Sie mich auf eine andere Antwort von Ihnen verweisen könnten, auf die Sie näher eingehen, oder wenn Sie diese als Antwort erweitern möchten. Ansonsten mach dir keine Sorgen - vielleicht weiß ich nicht genug über stochastische Prozesse, um deinen Standpunkt zu vertreten. Ich muss meine Fähigkeiten im Dynamic Bayesian Network verbessern. Wenn diese Intuition also bei der Arbeit an Zeitreihen hilft, wäre ich sehr interessiert.
DeltaIV

Antworten:

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Betrachten wir eine Zufallsvariable X . Wir wissen, dass X nichts anderes ist als eine messbare Funktion von (Ω,A) nach (R,B(R)) , wobei B(R) die Borel-Mengen der reellen Linie sind. Durch die Definition von Messbarkeit wissen wir, dass wir haben

X1(B)A,BB(R)

In der Praxis sind die Vorbilder der Borel-Mengen jedoch möglicherweise nicht alle von A sondern bilden möglicherweise eine viel gröbere Teilmenge davon. Um dies zu sehen, lassen Sie uns definieren

Σ={SA:S=X1(B), BB(R)}

Unter Verwendung der Eigenschaften von Vorbildern ist es nicht allzu schwierig zu zeigen, dass Σ eine Sigma-Algebra ist. Es folgt auch sofort, dass ΣA , also Σ eine Sub-Sigma-Algebra ist. Ferner ist anhand der Definitionen leicht zu erkennen, dass die Abbildung X:(Ω,Σ)(R,B(R)) messbar ist. Σ ist in der Tat die kleinste Sigma-Algebra, die X einer Zufallsvariablen macht, wie alle anderen Sigma-Algebren dieser Art mindestens Σ. Aus dem Grund, dass es sich um Vorbilder der Zufallsvariablen X , nennen wir Σ die durch die Zufallsvariable X induzierte Sigma-Algebra .

Hier ist ein extremes Beispiel: Betrachte eine konstante Zufallsvariable X , dh X(ω)α . Dann ist X1(B), BB(R) entweder Ω oder abhängig davon, ob αB . Die so erzeugte Sigma-Algebra ist trivial und als solche definitiv in A .

Hoffe das hilft.

JohnK
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ist die Menge der Ereignisse, oder? Den habe ich mit FAF
DeltaIV
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Ja, ich war mit der Bedingung , geboren zu finden ansprechender als F . AF
JohnK
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Ausgezeichnet! Sehr deutlich. Sie sollten ein Buch schreiben :)
DeltaIV