Ich hatte eine seltsame Frage, als ich einige konvexe Optimierungen ausprobierte. Die Frage ist:
Angenommen, ich generiere zufällig (z. B. Standardnormalverteilung) eine Symmetriematrix (z. B. generiere ich eine obere Dreiecksmatrix und fülle die untere Hälfte aus, um sicherzustellen, dass sie symmetrisch ist) ? Gibt es sowieso die Wahrscheinlichkeit zu berechnen?
Antworten:
Wenn Ihre Matrizen aus normalnormalen iid-Einträgen gezogen werden, ist die Wahrscheinlichkeit, positiv eindeutig zu sein, ungefährpN≈ 3- N2/ 4 , so zum BeispielwennN= 5 ,die Chance 1/1000 ist, und geht nach unten recht schnell danach. Eine ausführliche Diskussion dieser Frage finden Siehier .
Sie können diese Antwort leicht verstehen, indem Sie annehmen, dass die Eigenwertverteilung Ihrer Matrix ungefähr Wigner-Halbkreis ist , der symmetrisch zu Null ist. Wenn die Eigenwerte alle unabhängig waren, müßten Sie eine( 1 / 2 )N Chance positiven Definitheit von dieser Logik. In Wirklichkeit ergibt sich ein N2 -Verhalten, sowohl aufgrund von Korrelationen zwischen Eigenwerten als auch aufgrund der Gesetze, die große Abweichungen von Eigenwerten, insbesondere die kleinsten und größten, regeln. Insbesondere sind zufällige Eigenwerte sehr ähnlich zu geladenen Teilchen und mögen es nicht, nahe beieinander zu sein, daher stoßen sie sich gegenseitig ab (seltsamerweise mit demselben Potentialfeld wie geladene Teilchen, ∝ 1 / r , wobeir der Abstand zwischen benachbarten Eigenwerten ist). Sie alle zu bitten, positiv zu sein, wäre daher eine sehr große Bitte.
Aufgrund der Universalitätsgesetze in der Zufallsmatrixtheorie vermute ich außerdem, dass die obige WahrscheinlichkeitpN für im Wesentlichen jede "vernünftige" Zufallsmatrix mit iid-Einträgen, die einen endlichen Mittelwert und eine Standardabweichung aufweisen, wahrscheinlich gleich sein wird.
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