Technischer Punkt zur Konvergenz mit der bedingten Erwartung

Ich habe eine Folge von nicht negativen Variablen wie: E ( X n | C n ) = C $X_n$

$$E(X_n|C_n)=\frac{C_n}{n^2}$$

Dabei ist $C_n$ eine Folge von Zufallsvariablen, die fast sicher gegen 1 konvergieren $1$.

Kann ich schließen, dass $X_n$ fast sicher gegen 0 tendiert?

Hinweis: Sie können $\frac{1}{n^2}$ durch eine beliebige Sequenz mit endlicher Summe ersetzen . Die Frage bleibt im Wesentlichen dieselbe und die Antwort von Jason funktioniert genauso (siehe das Argument von Borel-Cantelli).

Ja, $X_{n} \to 0$ fast sicher. Das Argument, das ich habe, ist ein wenig verworren, also nimm es mit.

Betrachten Sie zunächst die Ereignisse . Durch die fast sichere Konvergenz von folgt, dass , und da , haben wir . Es genügt also zu zeigen, dass wie innerhalb von für jedes .C n P ( ⋂ k F k ) = 0 F 1 ⊇ F 2 ⊇ ⋯ P ( F k ) → 0 X n → $F_{k} = \bigcup_{n \geq k} \{ C_{n} > 2 \}$$C_{n}$$P( \bigcap_{k} F_{k} ) = 0$$F_{1} \supseteq F_{2} \supseteq \cdots$$P(F_{k}) \to 0$$X_{n} \to 0$$F_{k}^{c}$$k$

Korrigieren Sie nun ein und ein . Unter Verwendung der Notation um darzustellen , haben wir für Dies ist eine Art Schlüsselteil. (Beachten Sie auch, dass wir im ersten Schritt die Nicht- von , um von zum größeren Ereignis .) Von hier aus benötigen wir nur einige ziemlich gewöhnliche theoretische Argumente.& epsi ; > 0 E [ X ; A ] E [ X 1 A ] n ≥ k E [ X n ; F c k ] ≤ E [ X n ; C n ≤ 2 ] = E [ E ( X n | C n ) ; C n ≤ 2 ] = E [ C $k$$\varepsilon > 0$$E[X; A]$$E[X 1_{A}]$$n \geq k$ X n

$$\begin{equation} E[X_{n} ; F_{k}^{c}] \leq E[X_{n} ; C_{n} \leq 2] = E[ E(X_{n} | C_{n}) ; C_{n} \leq 2] = E[ C_{n} / n^{2} ; C_{n} \leq 2 ] \leq 2 / n^{2}. \end{equation}$$ $X_{n}$$F_{k}^{c}$$C_{n} \leq 2$

Die obige Grenze impliziert zusammen mit der Nicht- von , dass (für ), so dass P ( F $X_{n}$ n≥k∑n≥kP(F$P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) \leq \frac{2}{n^{2} \varepsilon}$$n \geq k$

$$\begin{equation} \sum_{n \geq k} P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) < \infty. \end{equation}$$

Durch das Borel-Cantelli-Lemma können wir nun sagen, dass das Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit Null. Da willkürlich war, bringt uns dies wie bei .ε X n → 0 F c

$$\begin{equation} F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \, \text{for infinitely many $n$} \} \end{equation}$$ $\varepsilon$$X_{n} \to 0$$F_{k}^{c}$

Setze . Dann ist und . Durch Markovs Ungleichung ist die eine endliche Summe hat, also durch Borel Cantelli, und fast sicher.$Z_n=X_n/C_n$$E[Z_n]=1/n^2$$Z_n\ge 0$$P(Z_n>\epsilon)\le E[Z_n]/\epsilon = 1/(n^2\epsilon)$$P(Z_n>\epsilon \text{ infinitely often})=0$$Z_n\to 0$

Wenn fast sicher und fast sicher ist, dann ist fast sicher.$Z_n\to0$$C_n\to 1$$X_n=Z_nC_n\to 0$