Lassen Sie ein Zufallsvektor aus gezeichnet sein . Betrachten wir eine Probe . Definieren Sie und . Sei \ boldsymbol {\ mu}: = \ mathbb {E} _ {\ mathbf {x} \ sim P} [\ mathbf {x}] und C: = \ mathrm {cov} _ {\ mathbf {x} \ sim P} [\ mathbf {x}, \ mathbf {x}] . C :=1
Nehmen wir nach dem zentralen Grenzwertsatz an, dass
wobei eine Kovarianzmatrix mit vollem Rang ist.
Frage : Wie kann ich das beweisen (oder widerlegen)?
für einige und für einige so dass ? Das sieht einfach aus. Aber ich konnte nicht genau herausfinden, wie ich das zeigen sollte. Dies ist keine Hausaufgabenfrage.
Mein Verständnis ist, dass die Delta-Methode es uns ermöglichen würde, leicht zu schließen
oder
Diese sind ein bisschen anders als ich will. Beachten Sie die Kovarianzmatrizen in den beiden Begriffen. Ich habe das Gefühl, dass ich hier etwas sehr Triviales vermisse. Wenn es die Dinge einfacher macht, können wir alternativ auch ignorieren, dh und annehmen, dass invertierbar ist. Vielen Dank.
Antworten:
Bei der Verwendung der Delta-Methode treten einige Schwierigkeiten auf. Es ist bequemer, es von Hand abzuleiten.
Mit dem Gesetz der großen Zahl, . Daher . Wenden Sie den Satz von Slutsky an, wir haben Nach dem kontinuierlichen Mapping-Theorem haben wir Daher Nach dem Satz von Slutsky haben wir Die Kombination der beiden oben genannten GleichheitsausbeutenC^−→PC C^+γnI−→PC
Um einfach zu sein, nehmen wir unten an, dass normalverteilt sind und . Es ist ein Standardergebnis, dass wobei eine symmetrische Zufallsmatrix mit diagonalen Elementen als ist und nicht diagonale Elemente als . Somit ist durch Matrix-Taylor-Erweiterung haben wirXi γn=o(n−1/2)
Also
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