Eigenschaften einer diskreten Zufallsvariablen

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Mein Statistikkurs hat mir nur beigebracht, dass eine diskrete Zufallsvariable eine endliche Anzahl von Optionen hat ... das hatte ich nicht bemerkt. Ich hätte gedacht, wie eine Reihe von ganzen Zahlen könnte es unendlich sein. Das Googeln und Überprüfen mehrerer Webseiten, darunter einige aus Universitätskursen, hat dies nicht ausdrücklich bestätigt. Die meisten Websites sagen jedoch, dass diskrete Zufallsvariablen zählbar sind - ich nehme an, das bedeutet endlich nummeriert?

Es ist klar, dass kontinuierliche Zufallsvariablen unendlich sind, selbst wenn sie (meistens?) Oft begrenzt sind.

Aber wenn diskrete Zufallsvariablen endliche Möglichkeiten haben, was ist dann eine unendliche Verteilung von ganzen Zahlen? Es ist weder diskret noch kontinuierlich? Ist die Frage umstritten, weil Variablen entweder kontinuierlich und (per Definition) unendlich oder diskontinuierlich und endlich sind?

James
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Sie sollten Ihren Statistikkurs nach geometrischen und poisson Zufallsvariablen fragen
Wahrscheinlichkeitslogik
Es ist online, also begrenztes Feedback. Sie schlagen vor, dass es sich um eine dritte (und vierte?) Art von Variablen handelt und nicht nur um (!) Verteilungen?
James
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Eine Verteilung ist keine Zufallsvariable - und das Ignorieren dieser Unterscheidung hat viele verwirrt. Ein schöner Satz der Mathematik des frühen 20. Jahrhunderts, der Lebesgue-Zerlegungssatz , zeigt, wie man alle Verteilungsfunktionen als aus drei verschiedenen Arten bestehend auffasst: "stetig" (die weiter unterteilt sind in absolut stetig und stetig, aber nicht ac) und "diskret". ""
whuber
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Ich fürchte, es ist kein guter Kurs, den du
nimmst
Auf alle Antworten hier, danke (obwohl einige über meinem Kopf sind, werde ich gestehen). Ich sollte mich wahrscheinlich darauf beziehen, was diese Frage ausgelöst hat, da ich sie bei der Überprüfung möglicherweise falsch interpretiert habe: Eine wahr / falsch-Frage mit der Angabe "Eine diskrete Zufallsvariable kann eine endliche Anzahl unterschiedlicher Werte annehmen" wird als wahr angesehen. mit der Erklärung, dass die Aussage "eine der Schlüsseleigenschaften einer diskreten Zufallsvariablen ist". Wenn wir Landwirte befragen würden, die fragen, wie viele Rinder sie besitzen, wäre es unmöglich, die Anzahl vorher zu binden, es ist theoretisch unendlich, aber diskret ...?
James

Antworten:

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Wenn das Ihr Kurs gesagt hat, ist es falsch.

Diskrete Verteilungen können zwar eine begrenzte Anzahl möglicher Ergebnisse haben, müssen dies jedoch nicht. Sie können eine diskrete Verteilung haben, die unendlich viele mögliche Ergebnisse hat - die Anzahl der Elemente sollte nicht mehr als zählbar sein.

Ein häufiges Beispiel wäre eine geometrische Verteilung; Betrachten Sie die Anzahl der Würfe einer fairen Münze, bis Sie einen Kopf bekommen. Es gibt keine endliche Obergrenze für die Anzahl der Würfe, die möglicherweise benötigt werden. Es kann 1 Wurf oder 2 oder 3 oder 100 oder eine andere Zahl dauern.

Eine diskrete Verteilung kann negativ sein (berücksichtigen Sie den Unterschied zwischen zwei solchen geometrisch verteilten Zufallsvariablen; es kann sich um eine beliebige positive oder negative Ganzzahl handeln).

Eine diskrete Verteilung muss jedoch nicht über den ganzen Zahlen liegen, wie in meinem Beispiel. Das ist nur eine häufige Situation, keine Voraussetzung.

Glen_b - Monica neu starten
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Was ist also der tatsächliche Zustand, der eine Verteilung "diskret" macht? :)
Matthew Drury
Die Bedingung ist, dass Lebesgue das Maß Null hat, nicht wahr, @matthewDrury?. Was wiederum der Verteilung entspricht, die zu höchstens einer zählbaren Menge eins summiert.
Therkel
Ich muss zugeben, dass ich die kanonischen Definitionen nicht kenne. Ich bin gespannt auf die Rolle von Akkumulationspunkten bei all dem.
Matthew Drury
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@Therkel Ich würde denken, dass eine Verteilung über das Cantor Set nicht als "diskret" angesehen wird.
Akkumulation
Nachdem ich en.wikipedia.org/wiki/Countable_set überprüft habe, akzeptiere ich dies gerne als Antwort. Das Beispiel der geometrischen Verteilung ist klar und scheint den Konsens der bisher eingereichten Antworten zu repräsentieren.
James
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Ich schreibe eine Antwort mit der Perspektive, dass ich nur ein sehr naives Verständnis der messungstheoretischen Wahrscheinlichkeit habe (also, Experten, bitte korrigieren Sie mich!).

Eine (reelle) Zufallsvariable ist eine Funktion , wobei S ein Abtastraum ist.X:SRS

ist diskret, wenn X ( S ) , dasdurch X induzierteBild von S , zählbar ist. X ist stetig, wenn X.XX(S)SXXX eine absolut kontinuierliche CDF hat . (Ich weiß nicht so viel über absolut kontinuierliche Funktionen, daher kann ich auf diesen Punkt nicht näher eingehen.)

Allerdings sind nicht alle Zufallsvariablen nur diskret oder stetig. Es gibt "gemischte" Zufallsvariablen, wobei X(s) eine CDF hat, die die Summe einer Schrittfunktion und einer stetigen Funktion mit Indikatoren ist.

Sie können auch Zufallsvariablen verwenden, die weder diskret noch kontinuierlich sind, z. B. die Cantor-Verteilung .

Klarinettist
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Sie wissen tatsächlich ziemlich viel über absolut kontinuierliche Verteilungen, weil (fast per Definition) eine absolut kontinuierliche Verteilung eine ist, die eine Dichte hat. Es gibt kontinuierliche Verteilungen ohne Dichte: Das archetypische Beispiel ist die durch die Cantor-Funktion induzierte Verteilung .
whuber
Wenn das zählbare Bild einen Akkumulationspunkt hat, würden wir dann immer noch sagen, dass es diskret ist?
Matthew Drury
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[0,1]
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So zitieren Sie die Wikipedia-Seite zu kontinuierlichen und diskreten Variablen :

Wenn es [die Variable] zwei bestimmte reelle Werte annehmen kann, so dass es auch alle reellen Werte zwischen ihnen annehmen kann (auch Werte, die willkürlich nahe beieinander liegen), ist die Variable in diesem Intervall stetig

Daher muss eine diskrete Zufallsvariable keine "endliche Anzahl von Optionen" haben, aber es muss eine nicht infinitesimale Lücke zwischen den möglichen Werten bestehen. Dies ist bei einer Verteilung von ganzen Zahlen der Fall, da der 'Abstand' zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen 1 beträgt und nicht kleiner sein kann. Daher ist die Variable nicht stetig da sie innerhalb dieser Lücken nicht "fortgesetzt" wird.

Bearbeiten: Ich weiß, dass es wahrscheinlich bessere und / oder präzisere Möglichkeiten gibt, dies zu beantworten, aber dies hat mir persönlich geholfen, den Unterschied zu verstehen.

deemel
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01.
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Einige Autoren haben gesagt, dass Werte, die willkürlich nahe beieinander liegen, nicht diskret sind, aber ich muss zugeben, dass ich es seltsam finde (obwohl mir vielleicht etwas fehlt). Ein Beispiel ist die Verteilung der Differenz der Quadratwurzeln zweier Poisson-Zufallsvariablen (mit realen Anwendungen: Menschen nehmen manchmal Quadratwurzeln mit Variablen, von denen angenommen wird, dass sie Poisson sind, um die Varianz zu stabilisieren, und sind möglicherweise daran interessiert, ob Paardifferenzen zentriert sind Null). Werte können mit einer solchen Variable willkürlich nahe beieinander liegen, aber sie sind immer unterschiedlich (Sie können jeden einzelnen aufzählen), ... ctd
Glen_b -Reinstate Monica
Y=1/XXε>0XY
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AA
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Ich nehme an, das ist eine Verwechslung, die ich in meinem Kopf hatte. Ich bin ausgebildeter Topologe, daher klingt diskret definitiv der topologische Kontext, wenn ich ihn höre. Vielen Dank für die Klarstellung von @whuber.
Matthew Drury