Konvergiert die Normalverteilung zu einer gleichmäßigen Verteilung, wenn die Standardabweichung unendlich wird?

Konvergiert die Normalverteilung zu einer bestimmten Verteilung, wenn die Standardabweichung grenzenlos wächst? es scheint mir, dass das pdf wie eine gleichmäßige Verteilung mit Grenzen aussieht, die durch $[-2 \sigma, 2 \sigma]$ . Ist das wahr?

Die anderen Antworten tun bereits hier eine große Aufgabe zu erklären , warum Gauß - RVs zu irgendetwas wie die Varianz steigt nicht ohne gebunden konvergieren, aber ich möchte eine scheinbar einheitliche Eigenschaft , darauf hinzuweisen , dass eine solche Sammlung von Gaussians tut satisfy , dass ich könnte denken , Genug, damit jemand ahnt, dass sie einheitlich werden, aber das ist nicht stark genug, um daraus zu schließen. $\newcommand{\len}{\text{len}}$

Betrachten Sie eine Sammlung von Zufallsvariablen wobei . Let ein festes Intervall von endlicher Länge sein und für einig definieren , also ist aber nur durch verschobene über . Für ein Intervall definieren Sie als die Länge von , und beachten Sie, dass .X n ≤ N ( 0 , n 2 ) A = [ a 1 , a 2 ] c ≤ R B = A + c B A c I = [ i 1 , i 2 ] len ( I ) = i 2 - i 1 I len $\{X_1,X_2,\dots\}$$X_n \sim \mathcal N(0, n^2)$$A = [a_1,a_2]$$c \in \mathbb R$$B = A +c$$B$$A$$c$$I = [i_1,i_2]$$\len (I) = i_2-i_1$$I$$\len(A) = \len(B)$

Ich beweise jetzt folgendes Ergebnis:

Ergebnis : als .n → $\vert P(X_n \in A) - P(x_n\in B)\vert \to 0$$n \to \infty$

Ich nenne das uniformartig, weil es besagt, dass die Verteilung von zunehmend zwei feste Intervalle gleicher Länge mit gleicher Wahrscheinlichkeit hat, egal wie weit sie voneinander entfernt sein mögen. Das ist definitiv eine sehr einheitliche Eigenschaft, aber wie wir sehen werden, sagt dies nichts über die tatsächliche Verteilung des die zu einer einheitlichen konvergiert.X $X_n$$X_n$

Pf: beachte, dass wobei so dass Ich kann die (sehr grobe) Grenze, die , um X 1 ~ N ( 0 , 1 ) , P ( X n ∈ A ) = P ( a 1 ≤ n X 1 ≤ a 2 ) = P ( ein $X_n = n X_1$$X_1 \sim \mathcal N(0, 1)$=

$$P(X_n \in A) = P(a_1 \leq n X_1 \leq a_2) = P\left(\frac{a_1}{n} \leq X_1 \leq \frac{a_2}n\right)$$ e - x 2 / 2 ≤ 1 $$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx.$$ $e^{-x^2/2} \leq 1$= len ( A $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} 1\,\text dx$$ $$= \frac{\text{len}(A)}{n\sqrt{2\pi}}.$$

Ich kann dasselbe für tun , um P ( X n ∈ B ) ≤ len ( B $B$

$$P(X_n \in B) \leq \frac{\text{len}(B)}{n\sqrt{2\pi}}.$$

Zusammengenommen habe ich as (ich verwende hier die Dreiecksungleichung).n→

$$\left\vert P(X_n \in A) - P(X_n \in B)\right\vert \leq \frac{\sqrt 2 \text{len}(A) }{n\sqrt{\pi}} \to 0$$ $n\to\infty$

$\square$

Inwiefern unterscheidet sich Konvergenz auf eine gleichmäßige Verteilung? Ich habe gerade bewiesen, dass die Wahrscheinlichkeiten für zwei feste Intervalle der gleichen endlichen Länge immer näher kommen, und intuitiv ist es sinnvoll, dass die Dichten aus der Perspektive von und "abgeflacht" werden . A $X_n$$A$$B$

Aber damit zu einer gleichmäßigen Verteilung konvergiert, müsste für jedes Intervall proportional zu , und das ist eine ganz andere Sache, weil Dies muss für jedes , nicht nur für ein im Voraus festgelegtes (und wie an anderer Stelle erwähnt, ist dies auch nicht einmal für eine Distribution mit unbegrenzter Unterstützung möglich). P ( X n ∈ I ) Len ( I ) I $X_n$$P(X_n \in I)$$\text{len}(I)$$I$$I$

Ein häufiger Fehler bei der Wahrscheinlichkeit ist die Annahme, dass eine Verteilung gleichmäßig ist, da sie visuell flach aussieht, wenn alle ihre Werte nahe Null sind. Dies liegt daran, dass wir tendenziell sehen, dass und dennoch , dh ein kleines Intervall um ist 1000-mal größer wahrscheinlich als ein kleines Intervall um .f ( x ) / f ( y ) = 0,001 / 0,000001 = 1000 x $f(x)=0.001 \approx 0.000001=f(y)$$f(x)/f(y)=0.001/0.000001=1000$$x$$y$

Es ist definitiv nicht einheitlich auf der gesamten realen Linie im Limit, da es keine einheitliche Verteilung auf . Es ist auch nicht einmal annähernd gleichförmig auf .[ - 2 σ , 2 σ $(-\infty,\infty)$$[-2\sigma,2\sigma]$

$[-2\sigma,2\sigma]$$[0,\sigma]$$[\sigma,2\sigma]$$P([0,\sigma])\approx 0.68/2= 0.34$$P([\sigma,2\sigma])\approx (0.95-0.68)/2 = 0.135$

Bei Betrachtung über die gesamte reelle Linie konvergiert diese Folge von Normalverteilungen nicht zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Es gibt einige Möglichkeiten, dies zu sehen. Als ein Beispiel kann die CDF mit einem normalen Standardabweichung ist und für alle , wobei es sich nicht um die cdf einer zufälligen Variablen handelt. Tatsächlich handelt es sich überhaupt nicht um eine cdf.$\sigma$$F_\sigma(x) = (1/2)(1+\mbox{erf}(x/\sqrt{2}\sigma)$$\lim_{\sigma\rightarrow\infty} F_\sigma(x) = 1/2$$x$

Der Grund für diese Nichtkonvergenz ist der Grenzwert. Die Grenzfunktion der Normalverteilung hat tatsächlich die Wahrscheinlichkeit "verloren" (dh sie ist ins Unendliche geflüchtet ). Dies hängt mit dem Konzept der Massendichtheit zusammen , das die notwendigen Bedingungen für die Konvergenz einer Folge von Zufallsvariablen zu einer anderen Zufallsvariablen schafft.

Ihre Aussage, dass das PDF wie eine gleichmäßige Verteilung mit durch gegebenen Grenzen$[−2σ,2σ]$ ist nicht korrekt, wenn Sie so anpassen , dass es der breiteren Standardabweichung entspricht.$\sigma$

Betrachten Sie dieses Diagramm mit zwei auf Null zentrierten Normaldichten. Die rote Kurve entspricht einer Standardabweichung von und die blaue Kurve einer Standardabweichung von , und tatsächlich ist die blaue Kurve auf fast flach.$1$$10$$[-2,2]$

aber für die blaue Kurve mit sollten wir uns eigentlich die Form auf . Wenn Sie sowohl die als auch die Achse um den Faktor skalieren , erhalten Sie das nächste Diagramm, und Sie erhalten genau dieselbe Form für die Blaudichte in diesem späteren Diagramm wie für die Rotdichte im vorherigen Diagramm $\sigma=10$$[-20,20]$$x$$y$$10$

Ihre Frage ist grundlegend fehlerhaft. Die Standardnormalverteilung ist so skaliert, dass . Für eine andere Gaußsche Verteilung ( ) hat die Kurve zwischen den Grenzen dieselbe Form wie die Standardnormalverteilung. Der einzige Unterschied ist der Skalierungsfaktor. Wenn Sie also den Gaußschen Wert durch Division durch skalieren , erhalten Sie die Standardnormalverteilung.μ = 0 , σ = σ ∗ [ - 2 σ ∗ , 2 σ ∗ ] σ $\sigma = 1$$\mu = 0, \sigma = \sigma^*$$[-2\sigma^*, 2\sigma^*]$$\sigma^*$

Nun , wenn Sie eine Gaußsche Verteilung haben ( ) , dann ja als , der Bereich zwischen wird zunehmende flache.σ ∗ → ∞ [ - 2 , 2 $\mu = 0, \sigma = \sigma^*$$\sigma^* \rightarrow \infty$$[-2, 2]$