Die Verteilung des Anfangspunkts eines AR-Prozesses

Betrachten Sie einen stochastischen Prozess nach dem Modell wobei .$\{X_t, t = 1, 2, \ldots\}$

$$X_t = \alpha X_{t-1} + e_t,$$ $e_t \thicksim f$

Kann ich sagen, dass die Verteilung des Anfangspunkts dieselbe ist wie ?$X_1$$f$

Kann ich sagen, dass die stationäre Randdichte von , falls vorhanden, dieselbe ist wie ?$\{X_t\}$$X_2 (\stackrel{D}{=}\alpha X_1 + e_2)$

Ich denke, dass die stationäre Randdichte von , falls vorhanden, dieselbe wie , aber nicht unbedingt dieselbe wie .$\{X_t\}$$X_2$$X_1$

Zeitreihenprozesse, die nur durch eine rekursive Gleichung definiert sind, sind nicht vollständig spezifiziert, da sie von der Spezifikation einer "Startverteilung" abhängen. Sofern Sie keine zusätzlichen Einschränkungen erfüllen müssen, können Sie eine beliebige Startverteilung verwenden, und Sie haben weiterhin ein AR-Modell, das der angegebenen rekursiven Gleichung entspricht. Allerdings ist es normalerweise so, dass wir ein stationäres AR-Modell spezifizieren möchten , das eine zusätzliche Einschränkung über die rekursive Gleichung hinaus auferlegt. Wenn Sie möchten, dass Ihr AR-Modell stationär ist, benötigen Sie$|\alpha|<1$ Außerdem müssen Sie die Randverteilung des Anfangswertes so wählen, dass sie der asymptotischen Verteilung des Prozesses entspricht.

Um die für ein stationäres Modell erforderliche Randverteilung zu erhalten, legen Sie die Varianz für die Randverteilung fest, indem Sie deren Varianz auf einstellen $\sigma_X^2 = \mathbb{V}(X_t) = \mathbb{V}(X_{t-1})$. Aus der rekursiven Gleichung, die Ihren AR-Prozess definiert, haben Sie:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \sigma_X^2 = \mathbb{V}(X_t) &= \mathbb{V}(\alpha X_{t-1} + e_t) \\[6pt] &= \alpha^2 \mathbb{V}(X_{t-1}) + \mathbb{V}(e_t) \\[6pt] &= \alpha^2 \sigma_X^2 + \sigma^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Auflösen nach $\sigma_X$ Ausbeuten:

$$\sigma_X^2 = \frac{\sigma^2}{1-\alpha^2}.$$

Um ein (stark) stationäres AR-Modell (mit einem Mittelwert von Null) zu erhalten, würden Sie daher die Startverteilung verwenden:

$$X_i \sim \text{N} \Big( 0, \frac{\sigma^2}{1-\alpha^2} \Big).$$

Durch die Verwendung dieser Startverteilung wird sichergestellt, dass alle Zeitreihenwerte dieselbe Randverteilung haben, wodurch Sie einen stationären Prozess erhalten. Sie werden anhand dieses Ergebnisses feststellen, dass die marginale Varianz der Reihe größer ist, wenn der Absolutwert des Autokorrelationsparameters näher bei eins liegt. Dies liegt daran, dass solche Prozesse eine hohe Autokorrelation aufweisen, was zu großen Flügeln im Prozess führt, was zu einer höheren (marginalen) Varianz führt.

Eine weitere Sache, die Sie hier beachten sollten, ist, dass Sie in Ihrem AR-Modell keinen Mittelwert haben, also einen asymptotischen Mittelwert von Null haben. Daher haben wir in der Startverteilung einen Mittelwert von Null verwendet. Sie könnten Ihr Modell so verallgemeinern, dass es einen Mittelwertparameter hat, wenn Sie möchten, aber dies würde die rekursive Gleichung geringfügig ändern. Ich habe dieses Problem für das allgemeinere AR-Modell in einer anderen Antwort auf eine ähnliche Frage hier erörtert , und ich empfehle Ihnen, diese Antwort zu lesen, um diese zu ergänzen.