Approximation von für eine diskrete Verteilung

Was ist der beste Weg, um für zwei gegebene ganze Zahlen zu approximieren wenn Sie den Mittelwert , die Varianz , die Schiefe und die überschüssige Kurtosis einer diskreten Verteilung und aus den (Nicht-Null-) Maßen der Form und dass eine normale Annäherung nicht angemessen ist?$Pr[n \leq X \leq m]$$m,n$$\mu$$\sigma^2$$\gamma_1$$\gamma_2$$X$$\gamma_1$$\gamma_2$

Normalerweise würde ich eine normale Näherung mit ganzzahliger Korrektur verwenden ...

$Pr[(n - \text{½})\leq X \leq (m + \text{½})] = Pr[\frac{(n - \text{½})-\mu}{\sigma}\leq Z \leq \frac{(m + \text{½})-\mu}{\sigma}] = \Phi(\frac{(m + \text{½})-\mu}{\sigma}) - \Phi(\frac{(n - \text{½})-\mu}{\sigma})$

... wenn die Schiefe und die übermäßige Kurtosis (näher an) 0 wären, aber das ist hier nicht der Fall.

Ich muss mehrere Approximationen für verschiedene diskrete Verteilungen mit verschiedenen Werten von und . Ich bin also daran interessiert herauszufinden, ob es ein etabliertes Verfahren gibt, das und , um eine bessere Näherung als die normale Näherung auszuwählen.$\gamma_1$$\gamma_2$$\gamma_1$$\gamma_2$

Dies ist eine interessante Frage, die keine wirklich gute Lösung hat. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dieses Problem anzugehen.

1. Nehmen Sie eine zugrunde liegende Verteilung an und passen Sie Momente an - wie in den Antworten von @ivant und @onestop vorgeschlagen. Ein Nachteil ist, dass die multivariate Verallgemeinerung möglicherweise unklar ist.

2. Sattelpunktnäherungen. In diesem Papier:

   Gillespie, CS und Renshaw, E. Eine verbesserte Sattelpunktnäherung. Mathematische Biowissenschaften , 2007.

   Wir versuchen, ein PDF / PMF wiederherzustellen, wenn wir nur die ersten Momente haben. Wir haben festgestellt, dass dieser Ansatz funktioniert, wenn die Schiefe nicht zu groß ist.

3. Laguerre-Erweiterungen:

   Mustapha, H. und Dimitrakopoulosa, R. Verallgemeinerte Laguerre-Erweiterungen multivariater Wahrscheinlichkeitsdichten mit Momenten . Computer & Mathematik mit Anwendungen , 2010.

   Die Ergebnisse in diesem Artikel scheinen vielversprechender zu sein, aber ich habe sie nicht codiert.

Das Anpassen einer Verteilung an Daten unter Verwendung der ersten vier Momente ist genau das, wofür Karl Pearson die Pearson-Familie kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen entwickelt hat (maximale Wahrscheinlichkeit ist heutzutage natürlich viel beliebter). Sollte es einfach sein, das relevante Mitglied dieser Familie zu finden, verwenden Sie dieselbe Art der Kontinuitätskorrektur, die Sie oben für die Normalverteilung angegeben haben.

Ich nehme an, Sie müssen eine wirklich enorme Stichprobengröße haben? Andernfalls sind Stichprobenschätzungen der Schiefe und insbesondere der Kurtosis oft hoffnungslos ungenau und sehr empfindlich gegenüber Ausreißern. In jedem Fall empfehle ich Ihnen dringend, sich L-Momente als Alternative anzusehen , die gegenüber gewöhnlichen Momenten mehrere Vorteile haben vorteilhaft für die Anpassung von Verteilungen an Daten.

Sie könnten versuchen, die Normalverteilung des Versatzes zu verwenden und festzustellen, ob die überschüssige Kurtosis für Ihre bestimmten Datensätze für die gegebene Schiefe ausreichend nahe an der überschüssigen Kurtosis der Verteilung liegt. Wenn dies der Fall ist, können Sie die Wahrscheinlichkeit mithilfe der Schrägnormalverteilung cdf abschätzen. Wenn nicht, müssten Sie eine Transformation zum Normal / Skew-PDF erstellen, die der für die Skew-Normalverteilung verwendeten ähnelt und Ihnen die Kontrolle über die Skewness und die übermäßige Kurtosis gibt.