Standardnormalverteilung in einem Unterraum

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Sei ein Vektorraum mit . Eine Standardnormalverteilung auf ist das Gesetz eines Zufallsvektors , der Werte in annimmt und so, dass die Koordinaten von in einer ( in irgendeiner) orthonormalen Basis von ein Zufallsvektor sind hergestellt aus unabhängigen Standardnormalverteilungen .URndim(U)=dUX=(X1,,Xn)UXUdN(0,1)

Beim Lesen dieser Frage habe ich mir folgende Frage gestellt. Sei eine Standardnormalverteilung auf . Stimmt es, dass die bedingte Verteilung von bei die Standardnormalverteilung für ?Y=(Y1,,Yn)RnYYUU

Die quadratische Norm von X hat eine Chi-Quadrat-Verteilung \ chi ^ 2_d . Wenn dies wahr ist, würde dies die Behauptung von @ Argha erklären.X2Xχd2

Entschuldigung, wenn LaTeX falsch geschrieben ist, wird das LaTeX-Rendering nicht angezeigt :(

EDIT 01/10/2012: Ok, ich verstehe . Schreiben Sie y=u+v die orthogonale Zerlegung von y in UU . Dann ist

Pr(YdyYU)=Pr(PUYdu)
. Das zeigt, dass (YYU)PUY . Das ist ein bisschen heuristisch, aber moralisch korrekt. Schließlich geht aus der Definition hervor, dass PUY auf U Standardnormal ist U.
Stéphane Laurent
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Ist das nicht schrecklich offensichtlich, wenn Sie feststellen, dass eine orthonormale Basis für immer durch Erweitern einer beliebigen orthonormalen Basis für konstruiert werden kann ? (Ein Beweis: Verwenden Sie Gram-Schmidt für jede Erweiterung, ob orthonormal oder nicht.) Auf dieser Basis ist das PDF trennbar und ein Fortiori ist Standard normal für , QED. RnUU
whuber
@whuber Könnten Sie bitte eine Antwort ausarbeiten? Wie leiten Sie die bedingte Verteilung ab?
Stéphane Laurent
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Du siehst es dir nur an! Wenn ein absolut kontinuierliches PDF als , dann sind (a) und unabhängig und (b) und sind die bedingten Verteilungen . f(x,y)fx(x)fy(y)XYfxfy
whuber
@whuber Ich komme gerade von der Arbeit zurück. Ich werde später darüber nachdenken. Vielen Dank. Natürlich glaube ich, dass dies offensichtlich ist, aber ich bin müde.
Stéphane Laurent

Antworten:

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Ja. Sie haben, dass ein Unterraum von . Sei und die orthogonale Projektionsmatrix auf , so dass symmetrisch und idempotent ist. Dann ist . Dies ist eine singuläre Normalverteilung, die im Unterraum die Standardnormalen in diesem Unterraum ist. Als singuläre Verteilung hat, ist es nicht eine Dichte in Bezug auf Volumen Maßnahme hat , aber es funktioniert auf das (niedrigeren-dim) Volumen - Maß auf eine Dichte in Bezug hat .URnYN(0,I)PUPPYN(P0,PIPT)=N(0,P)URnU

kjetil b halvorsen
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Ich verstehe nicht, wo Sie beweisen, dass das gleiche Gesetz wie , das von abhängig ist ? PYYYU
Stéphane Laurent
Beachten Sie, dass abstrakt die bedingte Wahrscheinlichkeit (wirklich Erwartung, einen linearen Raum zu erhalten ...) eine Projektion ist! So Anlage auf , wenn ein linearer Unterraum ist, ist die gleiche wie auf dem hervorstehenden . YUUU
kjetil b halvorsen
Entschuldigung, aber Ihre Behauptung hat keinen Sinn.
Stéphane Laurent
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Das ist die Intuition, ein Beweis muss vielleicht anders sein. Ich habe jetzt keine Zeit mehr, aber beachten Sie, dass die multivariate Normalverteilung durch Angabe der (Normal-) Verteilung aller linearen Kombinationen der Komponenten von . Wenn die Kovarianzmatrix der Vorsprung , wählen als Orthonormalbasis von . geschrieben werden . Wählen Sie als Koeffizienten für die lineare Kombination von , Sie werden sehen, dass die Varianz eins ist. Wählen Sie für den Koeffizienten einen zu orthogonalen Vektor der Länge Eins. Sie sehen, dass die Varianz Null ist. YPu1,,ukUPP=uiuiTuiU
kjetil b halvorsen
Die Verteilung von stimmt also mit der Standardnormalen in überein , die die bedingte Verteilung von bei . PYUYYU
kjetil b halvorsen