Standardnormalverteilung in einem Unterraum

Sei ein Vektorraum mit . Eine Standardnormalverteilung auf ist das Gesetz eines Zufallsvektors , der Werte in annimmt und so, dass die Koordinaten von in einer ( in irgendeiner) orthonormalen Basis von ein Zufallsvektor sind hergestellt aus unabhängigen Standardnormalverteilungen . $U \subset \mathbb{R}^n$ $\dim(U)=d$ $U$ $X=(X_1, \ldots, X_n)$ $U$ $X$ $\iff$ $U$ $d$ ${\cal N}(0, 1)$

Beim Lesen dieser Frage habe ich mir folgende Frage gestellt. Sei eine Standardnormalverteilung auf . Stimmt es, dass die bedingte Verteilung von bei die Standardnormalverteilung für ? $Y=(Y_1, \ldots, Y_n)$ $\mathbb{R}^n$ $Y$ $Y \in U$ $U$

Die quadratische Norm von hat eine Chi-Quadrat-Verteilung . Wenn dies wahr ist, würde dies die Behauptung von @ Argha erklären. ${\Vert X \Vert}^2$ $X$ $\chi^2_d$

Entschuldigung, wenn LaTeX falsch geschrieben ist, wird das LaTeX-Rendering nicht angezeigt :(

EDIT 01/10/2012: Ok, ich verstehe . Schreiben Sie $y=u+v$ die orthogonale Zerlegung von $y$ in $U\oplus U^\perp$ . Dann ist

Pr (Y \in d y \cap Y \in U) = Pr (P_{U} Y \in d u)

$\Pr(Y\in \mathrm{d}y \cap Y \in U)=\Pr(P_U Y \in \mathrm{d}u)$ . Das zeigt, dass

(Y ∣ Y \in U) \sim P_{U} Y

$(Y \mid Y \in U) \sim P_U Y$ . Das ist ein bisschen heuristisch, aber moralisch korrekt. Schließlich geht aus der Definition hervor, dass

P_{U} Y

$P_U Y$ auf

Standardnormal ist

U

$U$ .

normal-distribution conditioning Stéphane Laurent
quelle

Ist das nicht schrecklich offensichtlich, wenn Sie feststellen, dass eine orthonormale Basis für immer durch Erweitern einer beliebigen orthonormalen Basis für konstruiert werden kann ? (Ein Beweis: Verwenden Sie Gram-Schmidt für jede Erweiterung, ob orthonormal oder nicht.) Auf dieser Basis ist das PDF trennbar und ein Fortiori ist Standard normal für , QED.

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

U

$U$

U

$U$

whuber

@whuber Könnten Sie bitte eine Antwort ausarbeiten? Wie leiten Sie die bedingte Verteilung ab?

Stéphane Laurent

Du siehst es dir nur an! Wenn ein absolut kontinuierliches PDF als , dann sind (a) und unabhängig und (b) und sind die bedingten Verteilungen .

f (x, y)

$f(x,y)$

f_{x} (x) f_{y} (y)

$f_x(x)f_y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

f_{x}

$f_x$

f_{y}

$f_y$

whuber

@whuber Ich komme gerade von der Arbeit zurück. Ich werde später darüber nachdenken. Vielen Dank. Natürlich glaube ich, dass dies offensichtlich ist, aber ich bin müde.

Stéphane Laurent

Antworten:

Ja. Sie haben, dass ein Unterraum von . Sei und die orthogonale Projektionsmatrix auf , so dass symmetrisch und idempotent ist. Dann ist . Dies ist eine singuläre Normalverteilung, die im Unterraum die Standardnormalen in diesem Unterraum ist. Als singuläre Verteilung hat, ist es nicht eine Dichte in Bezug auf Volumen Maßnahme hat , aber es funktioniert auf das (niedrigeren-dim) Volumen - Maß auf eine Dichte in Bezug hat . $U$ $\mathbb R^n$ $Y \sim \text{N}(0,I)$ $P$ $U$ $P$ $PY \sim \text{N}(P0,PIP^T) = \text{N}(0,P)$ $U$ $\mathbb R^n$ $U$

kjetil b halvorsen
quelle

Ich verstehe nicht, wo Sie beweisen, dass das gleiche Gesetz wie , das von abhängig ist ?

P Y

$PY$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

Stéphane Laurent

Beachten Sie, dass abstrakt die bedingte Wahrscheinlichkeit (wirklich Erwartung, einen linearen Raum zu erhalten ...) eine Projektion ist! So Anlage auf , wenn ein linearer Unterraum ist, ist die gleiche wie auf dem hervorstehenden .

Y \in U

$Y \in U$

U

$U$

U

$U$

kjetil b halvorsen

Entschuldigung, aber Ihre Behauptung hat keinen Sinn.

Stéphane Laurent

Das ist die Intuition, ein Beweis muss vielleicht anders sein. Ich habe jetzt keine Zeit mehr, aber beachten Sie, dass die multivariate Normalverteilung durch Angabe der (Normal-) Verteilung aller linearen Kombinationen der Komponenten von . Wenn die Kovarianzmatrix der Vorsprung , wählen als Orthonormalbasis von . geschrieben werden . Wählen Sie als Koeffizienten für die lineare Kombination von , Sie werden sehen, dass die Varianz eins ist. Wählen Sie für den Koeffizienten einen zu orthogonalen Vektor der Länge Eins. Sie sehen, dass die Varianz Null ist.

Y

$Y$

P

$P$

u_{1}, \dots, u_{k}

$u_1, \dots, u_k$

U

$U$

P

$P$

P = \sum u_{i} u_{i}^{T}

$P=\sum u_i u_i^T$

u_{i}

$u_i$

U

$U$

kjetil b halvorsen

Die Verteilung von stimmt also mit der Standardnormalen in überein , die die bedingte Verteilung von bei .

P Y

$P Y$

U

$U$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

kjetil b halvorsen