Stellen Sie sich vor, ich habe eine Zufallsvariable mit supp und für jedes feste
Nun gegeben ein iid Beispiel - ist es möglich, dass
für , wobei das te kleinste Element beschreibt?
Stellen Sie sich vor, ich habe eine Zufallsvariable mit supp und für jedes feste
Nun gegeben ein iid Beispiel - ist es möglich, dass
für , wobei das te kleinste Element beschreibt?
Antworten:
Ja, es gibt solche Verteilungen, bei denen sich das Verhältnis der zweitkleinsten zu den kleinsten Werten mit zunehmender Stichprobengröße der Wahrscheinlichkeit eins nähert. Sie müssen sich "im Wesentlichen" wie Verteilungen mit streng positiver Unterstützung im Sinne einer sehr, sehr schnellen Annäherung an die Nullwahrscheinlichkeit am Ursprung verhalten. Eine Abbildung finden Sie in der ersten Abbildung unten.
(Ich verlasse mich hier auf die richtige Intuition, dass, wenn die Verteilung ein streng positives Minimum hat, letztendlich die beiden kleinsten Werte in großen Stichproben mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe an diesem Minimum liegen, von wo aus sich ihr Verhältnis der Einheit nähert. Diese Intuition funktioniert nicht, wenn das Minimum ist Null.)
Arbeiten wir der mit unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit kontinuierlichen Verteilungen. Dies bedeutet, dass sie eine gemeinsame Dichte und ihre gemeinsame Verteilungsfunktion ist.Xi f F(x)=F(0)+∫x0f(t)dt
Die Frage betrifft die kleinsten zwei unter den ersten dieser Variablen, wobei beliebig groß wird. Die gemeinsame Verteilung der beiden kleinsten Werte unter ihnen hat Dichten X<Y, n
für alle Einführung einer Variablen definiert durch0≤x≤y. u
um das Verhältnis darzustellen Variablen von nach ändern von nach (was in ausgedrückt werden kann ) und über alles zu integrieren mögliche Werte von geben uns die Verteilungsfunktion des Verhältnisses alsx/y≤1, (x,y) (u,y), u=0 u=r F y U=X/Y
Dieser Ausdruck wird Gegenstand unserer Analyse sein.
In einigen Fällen ist die Verteilung von leicht zu bewertenU . Obwohl dieser nächste Abschnitt eine Ablenkung ist, enthüllt er einen Denkprozess, der zu einer Antwort führt.
Nehmen wir zum Beispiel für wobei Ich erhalte eine Antwort, die überhaupt nicht mit variiert : für mögliche VerhältnisseFp(y)=yp 0≤y≤1 p>0. n 0≤r≤1,
Dies zeigt an, dass jede Verteilung , die sich in der Nähe des Ursprungs wie verhält, so etwas wie diese Leistungsverteilung für das Verhältnis ergibt; Insbesondere wird die Wahrscheinlichkeit nicht gegen konvergieren .F F(y)≈yp 1
Wenn groß wird, konvergiert in der Wahrscheinlichkeit gegen den konstanten Wert . Mit anderen Worten, obwohl wir keine Verteilungen entdeckt haben, bei denen sich das Verhältnis nähert , haben wir eine Verteilungsfamilie, bei der dieses Verhältnis so nahe an wie wir möchten, indem wir ein geeignetes Familienmitglied auswählen (d. H. durch Auswahl der Leistung , um ausreichend groß zu sein). Wir könnten daher Verteilungen betrachten, bei denen am Ursprung flacher ist als jedes Polynom. Die klassische und eine der einfachsten derartigen Funktionen istp (1) 1 U 1 1 p F
für0≤x≤1.
Offensichtlich reicht seine Unterstützung bis auf da das Exponential niemals Null ist. ist bei unendlich differenzierbar, aber alle Ableitungen sind dort Null.0, F 0
In diesem Fall kann das Integral für noch ausgewertet werden. Es ist einfacher, das Ergebnis in auszudrücken wobei asPr(U≤r) s≥1, 1/s2=r,
wo
ist die Pochhammer-Funktion. Hier sind Diagramme dieser Wahrscheinlichkeit (als Funktion von ) für und Die Graphen fallen mit zunehmendem auf ein Niveau von Null ab :s n=2,22,222,223, 224. n
Es ist leicht zu zeigen, dass für allez=s−1>0,
wenn groß wird. (Untersuchen Sie die MacLaurin-Reihe ihres Logarithmus.) Somit geht für alle auf zeigt, dass sich das Verhältnis der Konstanten in der Wahrscheinlichkeit nähert .n s=1+z>1, (2) 0, U 1
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