Dichte von Y = log (X) für Gamma-verteiltes X.

Diese Frage steht in engem Zusammenhang mit diesem Beitrag

Angenommen, ich habe eine Zufallsvariable und definiere . Ich möchte die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von . $X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$ $Y = \log(X)$ $Y$

Ich hatte ursprünglich gedacht, ich würde einfach die kumulative Verteilungsfunktion X definieren, eine Änderung der Variablen vornehmen und das "Innere" des Integrals als meine Dichte nehmen.

\begin{aligned} P (X \leq c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} x^{k - 1} e^{- \frac{x}{θ}} d x \\ P (Y \leq \log c) & = \int_{\log (0)}^{\log (c)} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} \exp (y)^{k - 1} e^{- \frac{\exp (y)}{θ}} \exp (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$

Hier benutze ich und $y = \log x$ , dann in Definitionen fürundin Bezug aufsub. $dy = \frac{1}{x} dx$ $x$ $dx$ $y$

Die Ausgabe lässt sich leider nicht in 1 integrieren. Ich bin mir nicht sicher, wo mein Fehler liegt. Könnten mir einige sagen, wo mein Fehler ist?

pdf gamma-distribution duckworthd
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Wenn Sie das PDF durcharbeiten, sollten Sie den Integranden nicht vom ersten zum zweiten Integral ändern. Ihr Fehler besteht darin, gleichzeitig den cdf- und den jakobianischen Ansatz zu verwenden.

Xi'an

Antworten:

Schreiben Sie die Dichten mit den Indikatoren, um ein klares Bild zu erhalten.

Wenn , dann ist $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$

f_{X} (x) = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} x^{k - 1} e^{- x / θ} I_{(0, \infty)} (x) .

$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$

Wenn , mit inversem , dann ist $Y=g(X)=\log X$ $X=h(Y)=e^Y$ Und die CDF ist aus der Definition erhaltene

f_{Y.} (y) = f_{X.} (h (y)) | h^{'} (y) | = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} \exp (k y - - e^{y} /. θ) {ich}_{(- - \infty, \infty)} (y),

$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$

P. (Y. \leq y) = \int_{- - \infty}^{y} f_{Y.} (y) d y .

$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$

Zen
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Dies ist eine gute Antwort, aber vielleicht sollten Sie die Gamma-Verteilung auf die gleiche Weise wie die ursprüngliche Frage parametrisieren.

normal

Guter Punkt, Max. Erledigt.

Zen

α = k

$\alpha = k$