Sei eine Folge von iid Zufallsvariablen. Definiere und für . Finden Sie die Grenzverteilung von
Dieses Problem stammt aus einem Problembuch zur Wahrscheinlichkeitstheorie im Kapitel über den zentralen Grenzwertsatz.
Da und unabhängig sind, ist und
Beachten Sie, dass die sind eindeutig nicht unabhängig. Das Problem stammt aus Shiryaevs Wahrscheinlichkeitsproblemen , die selbst auf dem Lehrbuch desselben Autors basieren. Das Lehrbuch scheint die CLT für korrelierte Variablen nicht abzudecken. Ich weiß nicht, ob sich irgendwo eine stationäre Mischsequenz versteckt ...
Ich habe Simulationen durchgeführt, um ein Gefühl für die Antwort zu bekommen
import numpy as np
import scipy as sc
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt
n = 20000 #summation index
m = 2000 #number of samples
X = np.random.normal(size=(m,n))
sums = np.cumsum(X, axis=1)
sums = np.delete(sums, -1, 1)
prods = np.delete(X**2-1, 0, 1)*np.abs(sums)
samples = 1/n*np.sum(prods, axis=1)
plt.hist(samples, bins=100, density=True)
x = np.linspace(-6, 6, 100)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, 0, 1/np.sqrt(2*np.pi)))
plt.show()
Unten sehen Sie ein Histogramm von Proben ( ). Es sieht ziemlich normal verteilt aus ...
self-study
normal-distribution
convergence
central-limit-theorem
Gabriel Romon
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Antworten:
Wenn ich die Verteilung simuliere, erhalte ich etwas, das einer Laplace-Verteilung ähnelt. Noch besser scheint ein q-Gausian zu sein (die genauen Parameter, die Sie mithilfe der Theorie finden müssten).
Ich denke, dass Ihr Buch eine Variation der CLT enthalten muss, die sich darauf bezieht (q-verallgemeinerter zentraler Grenzwertsatz, wahrscheinlich in Abschnitt 7.6 Der zentrale Grenzwertsatz für Summen abhängiger Variablen , aber ich kann ihn nicht so nachschlagen wie ich habe das Buch nicht zur Verfügung).
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