Ich möchte den Parameter der Exponentialverteilung aus einer Stichprobenpopulation berechnen, die unter voreingenommenen Bedingungen aus dieser Verteilung entnommen wurde. Soweit ich weiß, ist für eine Stichprobe von n Werten der übliche Schätzer . Meine Stichprobe ist jedoch wie folgt voreingenommen:e - λ x λ = n
Aus einer vollständigen Population von m Elementen, die aus der Exponentialverteilung gezogen wurden, sind nur die n kleinsten Elemente bekannt. Wie kann ich den Parameter in diesem Szenario schätzen ?
Etwas formeller, wenn iid-Stichproben sind, die aus , so dass wir für jedes , dann wie kann ich schätzen aus der Menge \ {x_1, x_2, x_3, ..., x_n \} wo n <m .e - λ x i < j x i ≤ x j λ { x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n } n < m
Vielen Dank!
Michael
Antworten:
Der Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter der Exponentialverteilung unter Typ-II-Zensur kann wie folgt abgeleitet werden. Ich gehe davon aus, dass die Stichprobengröße , von denen die kleinsten beobachtet werden und die größten nicht beobachtet werden (aber bekanntermaßen existieren).m m - nn < m m - n
Nehmen wir (zur Vereinfachung der Notation) an, dass das beobachtetexich geordnet sind: . Dann ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte von x 1 , … , x n :0 ≤ x1≤ x2≤ ⋯ ≤ xn x1, … , X.n
wobei sich das erste Exponential auf die Wahrscheinlichkeiten des beobachteten x i und das zweite auf die Wahrscheinlichkeiten des m - n unbeobachteten x i bezieht, die größer als x n sind (was nur 1 ist - die CDF bei x n ) zu:n xich m - n xich xn xn
(Beachten Sie, dass die Summe zu läuft, da der Koeffizient von x n ein " + 1 " enthält .) Wenn Sie das Protokoll nehmen, führt die Ableitung wrt λ usw. zum Maximum-Likelihood-Schätzer:n - 1 + 1 xn λ
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Dies verlinkt @ jbowmans Antwort auf meinen Kommentar. Unter allgemeinen Arbeitsannahmen kann man nämlich die "Standardüberlebenswahrscheinlichkeit" unter Typ-II-Zensur verwenden.
PS1: Beachten Sie, dass dies nicht auf die Exponentialverteilung beschränkt ist.
PS2: Details finden Sie in Abschnitt 2.2 des Buches von Lawless .
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