pdf des Produkts zweier unabhängiger Zufallsvariablen, Normal und Chi-Quadrat

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Was ist das PDF des Produkts zweier unabhängiger Zufallsvariablen X und Y, wenn X und Y unabhängig sind? X ist normalverteilt und Y ist Chi-Quadrat-verteilt.

Z = XY

wenn eine Normalverteilung hat und hat Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgrad wenn die Einheitsschrittfunktion ist.X N ( μ x , σ 2 x ) f X ( x ) = 1X

XN(μx,σx2)
YkY~& khgr;2kfY(y)=y(k/2)-1e-y/2
fX(x)=1σx2πe12(xμxσx)2
Yk
Yχk2
u(y)
fY(y)=y(k/2)1ey/22k/2Γ(k2)u(y)
u(y)

Was ist nun das PDF von wenn und unabhängig sind?X YZXY

Eine Möglichkeit , die Lösung zu finden , ist Rohatgi des bekannten Ergebnis zu verwenden (1976, S.141) , wenn sein die gemeinsame pdf kontinuierlicher RV und , die pdf von ist X Y Z f Z ( z ) = - 1fXY(x,y)XYZ

fZ(z)=1|y|fXY(zy,y)dy

da und unabhängig sind Wo wir vor dem Problem stehen, das Integral \ int_ {0} ^ zu lösen {\ infty} {{1 \ over | y |} e ^ {- {1 \ over2} ({{z \ overy} - \ mu_x \ over \ sigma_x}) ^ 2} {y ^ {(k / 2 ) -1} e ^ {- y / 2}} dy} . Kann mir jemand bei diesem Problem helfen.Y f X Y ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) f Z ( z ) = - 1XYfXY(x,y)=fX(x)fY(y) fZ(z)=1

fZ(z)=1|y|fX(zy)fY(y)dy
01
fZ(z)=1σx2π12k/2Γ(k2)01|y|e-12(zy-μxσx)2y(k/2)-1e-y/2dy
01|y|e-12(zy-μxσx)2y(k/2)-1e-y/2dy

Gibt es eine alternative Möglichkeit, dies zu lösen?

Robin
quelle
2
Dieser letzte Schritt sieht nicht ganz richtig aus. " fXY. " scheint f_X zu bedeuten fX, aber - was noch wichtiger ist - Sie können die Untergrenze nicht einfach auf 0 ändern 0: Sie müssen das Integral bei 0 in zwei separate Teile aufteilen und y \ auf0 ändern y-y für den einen im negativen Bereich, und kombinieren Sie dann die beiden. Ich glaube, dies kann die Integration verfolgbar machen: Es scheint eine lineare Kombination von verallgemeinerten hypergeometrischen Funktionen zu geben.
whuber
Ja, das war ein Fehler. sollte . fX(zfZY.(zy)fX(zy)
Robin
Aber ich denke, die Änderung der Untergrenze auf 0 ist gültig, weil eine Funktion von ist, die durch die Einheitsschrittfunktion angezeigt wird . ( 0 , ) u ( y )fY.(y)(0,)u(y)
Robin
Ich bin nicht mehr auf diese Art von Berechnungen geschult ... aber es sieht nicht so aus, als ob es möglich wäre, eine geschlossene Formel zu erhalten. Wenn Sie dies für eine praktische Anwendung benötigen, sollten Sie sich meines Erachtens darauf konzentrieren, "wie man dies effizient berechnet".
Elvis
4
Gibt es eine Motivation für diese Frage? Ein durch ein geteiltes Normal ist das eines Schülers , aber warum sollten Sie ein durch ein multipliziertes oder geteiltes Normal in Betracht ziehen ? t χ 2χtχ2
Xi'an

Antworten:

1

Vereinfache den Begriff im Integral zu

T=e-12((zy-μxσx)2-y)yk/2-2

finde das Polynom so, dassp(y)

[p(y)e-12((zy-μxσx)2-y)]=p(y)e-12((zy-μxσx)2-y)+p(y)[-12((zy-μxσx)2-y)]e-12((zy-μxσx)2-y)=T

was sich darauf reduziert, so zu finden, dassp(y)

p(y)+p(y)[-12((zy-μxσx)2-y)]=yk/2-2

oder

p(y)-12p(y)(zμxσx2y-2z2σx2y-3-1)=yk/2-2

was getan werden kann, alle Kräfte von separat zu bewerteny


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Die obige Lösung funktioniert nicht, da sie auseinander geht.

Einige andere haben jedoch an dieser Art von Produkt gearbeitet.

Fourrier-Transformation verwenden:

Schönecker, Steven und Tod Luginbuhl. "Charakteristische Funktionen des Produkts zweier Gaußscher Zufallsvariablen und des Produkts einer Gaußschen und einer Gamma-Zufallsvariablen." IEEE Signal Processing Letters 23.5 (2016): 644-647. http://ieeexplore.ieee.org/document/7425177/#full-text-section

Für das Produkt mit und sie die charakteristische Funktion erhalten:Z=XY.XN(0,1)Y.Γ(α,β)

φZ=1βα|t|-αexp(14β2t2)D-α(1β|t|)

mit der Funktion von Whittaker ( http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_686.htm )Dα

Verwenden der Mellin-Transformation:

Springer und Thomson haben allgemeiner die Bewertung von Produkten aus Beta, Gamma und Gauß verteilten Zufallsvariablen beschrieben.

Springer, MD und WE Thompson. "Die Verteilung von Produkten aus Beta, Gamma und Gaußschen Zufallsvariablen." SIAM Journal on Applied Mathematics 18.4 (1970): 721 & ndash; 737. http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065

Sie verwenden die Mellin-Integraltransformation. Die Mellin-Transformation von ist das Produkt der Mellin-Transformation von und (siehe http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065 oder https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177730201 ). In den untersuchten Fällen von Produkten kann die Rücktransformation dieses Produkts als eine Meijer-G-Funktion ausgedrückt werden, für die sie auch Berechnungsmethoden bereitstellen und nachweisen.ZXY.

Sie haben das Produkt einer Gaußschen und einer Gamma-verteilten Variablen nicht analysiert, obwohl Sie möglicherweise die gleichen Techniken anwenden können. Wenn ich versuche, dies schnell zu tun, sollte es meiner Meinung nach möglich sein, eine H-Funktion ( https://en.wikipedia.org/wiki/Fox_H-function ) zu erhalten, obwohl ich nicht direkt die Möglichkeit sehe, eine G -Funktion zu erhalten. Funktion oder andere Vereinfachungen machen.

M{fY.(x)|s}=2s-1Γ(12k+s-1)/Γ(12k)

und

M{fX(x)|s}=1π2(s-1)/2σs-1Γ(s/2)

du erhältst

M{fZ(x)|s}=1π232(s-1)σs-1Γ(s/2)Γ(12k+s-1)/Γ(12k)

und die Verteilung von ist:Z

fZ(y)=12πichc-ichc+ichy-sM{fZ(x)|s}ds

Das sieht für mich (nach einer Änderung der Variablen zur Eliminierung des Terms) mindestens nach einer H-Funktion aus232(s-1)

Was noch übrig ist, ist das Rätsel, um diese inverse Mellin-Transformation als G-Funktion auszudrücken. Das Auftreten von und erschwert dies. In dem separaten Fall für ein Produkt von nur Gaußschen verteilten Variablen könnte die durch Ersetzen der Variablen in transformiert werden . Aufgrund der Chi-Quadrat-Verteilung funktioniert dies jedoch nicht mehr. Vielleicht ist dies der Grund, warum niemand eine Lösung für diesen Fall gefunden hat.s / 2 s / 2 s x = w 2ss/2s/2sx=w2

Sextus Empiricus
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1
... was ergibt ...?
Wolfies
es gibt das Antiderivativ des Ausdrucks im Integral an, der gemäß der Frage zu lösen ist
Sextus Empiricus
Es ist unklar, welchen Fortschritt diese Analyse darstellt. Erhalten Sie eine Lösung oder nicht?
whuber
Das Finden der Koeffizienten des Polynoms (das die Lösung schließt) ist eine mühsame, aber unkomplizierte Aufgabe, die ich offen gelassen habe. Ich werde bald einige Beispiele für einige eingeben . kp(y)k
Sextus Empiricus