Eigenschaften der normalen und impliziten bedingten Wahrscheinlichkeit des bivariaten Standards im Roy-Modell

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Entschuldigung für den langen Titel, aber mein Problem ist sehr spezifisch und schwer in einem Titel zu erklären.

Ich lerne gerade über das Roy-Modell (Behandlungseffektanalyse).

Bei meinen Folien gibt es einen Ableitungsschritt, den ich nicht verstehe.

Wir berechnen das erwartete Ergebnis mit der Behandlung in der Behandlungsgruppe (Dummy D ist Behandlung oder Nichtbehandlung). Dies ist geschrieben als

E.[Y.1|D.=1]]

da kann dies umgeschrieben werden als bevor wir auch sagten, dass wenn so folgt es:E [ Y 1 | D = 1 ]Y.1=μ1+U.1 D=1Y1>Y0

E.[Y.1|D.=1]]=E.[μ1+U.1|D.=1]]=μ1+E.[U.1|D.=1]]
D.=1Y.1>Y.0

Y.1- -Y.0>0

μ1+U1(μ0- -U.0)>0

(μ1+U.1)/.σ- -(μ0- -U.0)/.σ>0

Z.- -ϵ>0

also wennϵ < ZD.=1ϵ<Z.

Daher gilt:

E.[Y.1|D.=1]]=μ1+E.[U.1|ϵ<Z.]]

Es ist weiterhin bekannt, dass

[U1U0ϵ]=N([000],[σ12σ10σ1ϵσ10σ02σ0ϵσ1ϵσ0ϵσϵ2])

daher folgt:P(D=1)=P(ϵ<Z)=Φ(Z)

Nun kommt meine Frage, sagen die Folien, dass Und ich verstehe nicht warum?

μ1E[U1|ϵ<Z]=μ1σ1ϵϕ(Z)Φ(Z)

Ich weiß, dass, wenn zwei Zufallsvariablen einer bivariaten Standardnormalverteilung folgen:E[u1|u2)=ρu2

alsoE.[u1|u2>c)=E.[ρu2|u2>c]]=ρE.[u2|u2>c)=ρϕ(c)1- -Φ(c)

Deshalb hätte ich ein "Plus" und kein Minuszeichen erwartet? Warum verwenden wir auch die Kovarianz und nicht die Korrelation ? Also hätte ich so etwas erwartet ρσ1ϵρ

μ1- -E.[U.1|ϵ<Z.]]=μ1+ρϕ(Z.)Φ(Z.)

Mir ist bewusst, dass aus dem ein wird , wenn ich die Kürzung von oben mache .Φ ( c )1- -Φ(c)Φ(c)

Ivanov
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Antworten:

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Zunächst wird im Roy-Modell aus Identifikationsgründen auf normalisiert (vgl. Cameron und Trivedi: Mikroökonometrie: Methoden und Anwendungen). Ich werde diese Normalisierung im Folgenden beibehalten. Um Ihre Frage zu beantworten, zeigen wir zuerst. Hier sind und das pdf bzw. cdf einer Standardnormalverteilung. Beachten Sie, dass nach dem Gesetz der iterierten Erwartung. Der Vektor 1 E ( U 1ε < Z ) = - σ 1 ε ϕ ( Z )σε21 ϕΦE(U1ε<Z)=E(E(U 1ε)ε<Z)(U1,ε)(0,0)'[ σ 2 1 σ 1 ϵ

E.(U.1ε<Z.)=- -σ1εϕ(Z.)Φ(Z.)
ϕΦ
E.(U.1ε<Z.)=E.(E.(U.1ε)ε<Z.)
(U.1,ε) ist eine bivariate Normalen mit dem Mittelwert und der Kovarianzmatrix Der bedingte Mittelwert (beachten Sie, dass hier keine Kovarianzkorrelation auftritt, weil ). Somit ist Die Dichtefunktion von ist (0,0)'
[σ12σ1ϵ1]].
E.(U.1ε)=σ1εεσε2=1
E.(U.1ε<Z.)=σ1εE.(εε<Z.).
εε<Z.
f(εε<Z.)={ϕ(ε)Φ(Z.),- -<ε<Z.;;0,εZ..
Der bedingte Mittelwert ist E.(εε<Z.)E(εε<Z)=-ϕ(Z)/Φ(Z)
E.(εε<Z.)=- -Z.tϕ(t)Φ(Z.)dt=1Φ(Z.)- -Z.t12πexp(- -12t2)dt=- -1Φ(Z.)- -Z.t{12πexp(- -12t2)}}dt=- -1Φ(Z.)(ϕ(Z.)- -ϕ(- -)).
Beachten Sie, wie das negative Vorzeichen herauskommt. Somit ist , und die Schlussfolgerung folgt.E.(εε<Z.)=- -ϕ(Z.)/.Φ(Z.)
Semibruin
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Ich habe versucht, Ihnen das Kopfgeld zu gewähren, aber es heißt: "Sie können Ihr Kopfgeld in 18 Stunden vergeben". Erinnere mich, wenn ich es vergesse :-)
Stat Tistician
Vielen Dank für Ihre Auszeichnung und ich bin froh, dass der Beitrag hilft.
Semibruin