Wie kann ich berechnen

41

Angenommen, und Φ ( )ϕ()Φ() sind Dichtefunktion und Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Wie kann man das Integral berechnen:

-Φ(w-einb)ϕ(w)dw
hadisanji
quelle
5
Das ist alles in Ordnung. Eine frühe Bezugnahme auf ein allgemeineres Ergebnis, das dieses einschließt, ist Ellison (1964, J. Am. State. Assoc, 59, 89-95); siehe Korollar 1 von Satz 2.

Antworten:

48

Eine konventionellere Schreibweise ist

y(μ,σ)=Φ(X-μσ)ϕ(X)dX=Φ(-μ1+σ2).

Dies kann durch Differenzieren des Integrals in Bezug auf und σ gefunden werden , wobei Elementarintegrale erzeugt werden, die in geschlossener Form ausgedrückt werden können:μσ

yμ(μ,σ)=-12πσ2+1e-12μ2σ2+1,

yσ(μ,σ)=μσ2π(σ2+1)3/2e-12μ2σ2+1.

Dieses System kann beginnend mit der Anfangsbedingung =& Phi; ( x ) φ ( x ) d x = 1 / 2 , die gegebenen Lösung zu erhalten (die durch Differenzierung leicht überprüft wird).y(0,1)Φ(X)ϕ(X)dX1/2

whuber
quelle
4
Ich habe die Antwort durch numerische Integration überprüft und die Verhältnisse für , 0 < σ 2 konturiert-2μ20<σ2 : es bestand Übereinstimmung mit elf signifikanten Zahlen in diesem Bereich.
whuber
Wow, clevere Lösung.
Cam.Davidson.Pilon
2
Ich denke, dies kann fast durch Inspektion erfolgen. Der erste Term unter dem Integral ist eine einheitliche [0,1] Zufallsvariable. Da das normale PDF symmetrisch ist, sollte das Integral 12
Soakley
1
@soakley Ihr Ansatz funktioniert für , aber es ist nicht klar, wie er auf andere Argumente von y angewendet werden würde . y(0,1)y
whuber
1
@whuber Entschuldigung, dass Sie das nicht verstanden haben, aber sobald wir die beiden geschlossenen Formen für die Ableitung und die Anfangsbedingung haben, wie gelangen wir von dort zur endgültigen Lösung? Mit anderen Worten, was haben Sie mit den Ausdrücken in geschlossener Form für die Ableitungen und der Anfangsbedingung gemacht?
user106860
63

Sei und Y unabhängige normale Zufallsvariablen mit X N ( a , b 2 ) und Y eine normale Standardzufallsvariable. Dann P { X Y | Y = w } = P { X w } = Φ ( w - aXY.XN(ein,b2)Y.Also,die Totale Wahrscheinlichkeit verwendet, erhalten wirdass P{XY}=- P{XY|Y=w}φ(w

P{XY.Y.=w}=P{Xw}=Φ(w-einb).
Nun P { X Y } = P { X - Y 0 } kann in Bezugdie ausgedrückt werden Φ ( ) mitFeststellungdass X - Y ~ N ( a , b 2 + 1 ) , und wir somit erhalten - Φ ( w - a
P{XY}=P{XYY=w}ϕ(w)dw=Φ(wab)ϕ(w)dw.
P{XY}=P{XY0}Φ()XYN(a,b2+1) das ist das gleiche wie das Ergebnis in Whubers Antwort.
-Φ(w-einb)ϕ(w)dw=Φ(-einb2+1)
Dilip Sarwate
quelle
2

Hier ist eine andere Lösung: Wir definieren

I(γ)=Φ(ξx+γ)N(x|0,σ2)dx,
γ=ξμI(γ)I(0)=0γ
dIdγ=N((ξx+γ)|0,1)N(x|0,σ2)dX=-12πexp(-12(ξX+γ)2)12πσ2exp(-X22σ2)dX.
(ξX+γ)2+X2σ2=(ξ2+σ-2)=einX2+-2γξ=bX+γ2=c=ein(X-b2ein)2+(c-b24ein)(c-b24ein)=γ2-4γ2ξ24(ξ2+σ-2)=γ2(1-ξ2ξ2+σ-2)=γ2(11+ξ2σ2)
dichdγ=12πσexp(-12(c-b24ein))2πein-ein2πexp(-12ein(X-b2ein)2)dX=12πσexp(-12(c-b24ein))2πein=12πσ2einexp(-12(c-b24ein))=12π(1+σ2ξ2)exp(-12γ21+ξ2σ2)

ich(γ)=-γ12π(1+σ2ξ2)exp(-12z21+ξ2σ2)dz=Φ(γ1+ξ2σ2)

was impliziert

-Φ(ξX)N(X|μ,σ2)dX=ich(ξμ)=Φ(ξμ1+ξ2σ2).

Jenny Reininger
quelle