Angenommen, und Φ ( ⋅ ) sind Dichtefunktion und Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
Wie kann man das Integral berechnen:
Angenommen, und Φ ( ⋅ ) sind Dichtefunktion und Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
Wie kann man das Integral berechnen:
Antworten:
Eine konventionellere Schreibweise ist
Dies kann durch Differenzieren des Integrals in Bezug auf und σ gefunden werden , wobei Elementarintegrale erzeugt werden, die in geschlossener Form ausgedrückt werden können:μ σ
Dieses System kann beginnend mit der Anfangsbedingung = ∫ & Phi; ( x ) φ ( x ) d x = 1 / 2 , die gegebenen Lösung zu erhalten (die durch Differenzierung leicht überprüft wird).y( 0 , 1 ) ∫Φ ( x ) ϕ ( x )dX 1 / 2
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Sei und Y unabhängige normale Zufallsvariablen mit X ∼ N ( a , b 2 ) und Y eine normale Standardzufallsvariable. Dann P { X ≤ Y | Y = w } = P { X ≤ w } = Φ ( w - aX Y. X∼N( a , b2) Y. Also,die Totale Wahrscheinlichkeit verwendet, erhalten wirdass
P{X≤Y}=∫ ∞ - ∞ P{X≤Y|Y=w}φ(w
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Hier ist eine andere Lösung: Wir definierenich( γ)= ∫∞- ∞Φ(ξx+γ)N(x|0,σ2)dx, γ=−ξμ I(γ) I(0)=0 γ
dIdγ=∫∞−∞N((ξx+γ)|0,1)N(x|0,σ2)dx=∫∞−∞12π−−√exp(−12(ξx+γ)2)12πσ2−−−−√exp(−x22σ2)dx. ( ξx +γ)2+ x2σ2= ( ξ2+ σ- 2)= aX2+ - 2 γξ= bx + γ2= c= a ( x - b2 a)2+ ( c - b24 a) ( c - b24 a)= γ2- 4 γ2ξ24 ( ξ2+ σ- 2)= γ2( 1 - ξ2ξ2+ σ- 2)= γ2( 11 + ξ2σ2) dichdγ= 12 πσexp( - 12( c - b24 a) ) 2 πein---√∫∞- ∞ein2 π---√exp( - 12a ( x - b2 a)2) dX= 12 πσexp( - 12( c - b24 a) ) 2 πein---√= 12 πσ2ein-----√exp( - 12( c - b24 a) )= 12 π( 1 + σ2ξ2)-----------√exp( - 12γ21 + ξ2σ2)
was impliziert
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