Ich habe einen Parameter der zwischen . Nehmen wir an, ich kann ein Experiment durchführen und , wobei ein Standard-Gaußscher ist. Was ich brauche, ist eine Schätzung von θ, die 1) unvoreingenommen 2) fast sicher begrenzt ist. Voraussetzung (2) ist für mich entscheidend.
Die natürliche denken zu tun , ist eine neue Schätzer Einstellung zu konstruieren θ auf 1 , wenn es oben ist 1 und 0 , wenn es unten ist 0 . Aber dann wird der Schätzer nicht unvoreingenommen sein. Also was soll ich tun?
Formal ist die Frage , ob es eine Funktion existiert , so daß erfüllt , (1) und (2) oben. Wäre die Situation anders, wenn ich mehr als eine Stichprobe ziehen würde?
Antworten:
Ich werde Bedingungen vorstellen, unter denen ein unvoreingenommener Schätzer auch nach seiner Begrenzung unvoreingenommen bleibt. Ich bin mir aber nicht sicher, ob es sich um etwas Interessantes oder Nützliches handelt.
Lassen Sie sich einen Schätzer θ der unbekannten Parameter θ eine kontinuierliche Verteilung und E ( θ ) = θ .θ^ θ E(θ^)=θ
Nehmen wir an, dass der Schätzer aus bestimmten Gründen bei wiederholter Abtastung Schätzungen erstellen soll, die im Bereich von . Wir nehmen an, dass θ ∈ [ δ l , δ u ] und können daher das Intervall nach Bedarf als [ θ - a , θ + b ] mit { a , b } positiven Zahlen schreiben , aber natürlich unbekannt.[δl,δu] θ∈[δl,δu] [θ−a,θ+b] {a,b}
Dann ist der eingeschränkte Schätzer
und sein erwarteter Wert ist
Definieren Sie nun die Anzeigefunktionen
und beachte das
Wir haben die Ober- und Untergrenze zerlegt
Aber
oder alternativ
... und so wir , dass (wie hinreichende Bedingungen) erfahren, wenn die Verteilung des unbeschränkten Schätzer um den wahren Wert symmetrisch ist, dann in einem Intervall symmetrisch begrenzt der Schätzer um den wahren Wert wird auch unvoreingenommener ... aber dies ist fast trivial offensichtlich oder intuitiv, nicht wahr?
Es wird etwas interessanter, wenn wir erkennen, dass die notwendige und ausreichende Bedingung (bei einem symmetrischen Intervall) a) keine symmetrische Verteilung erfordert, sondern nur die gleiche Wahrscheinlichkeitsmasse "in den Schwänzen" (und dies wiederum impliziert nicht, dass die Die Verteilung der Masse in jedem Schwanz muss identisch sein.) und b) ermöglicht, dass die Dichte des Schätzers innerhalb des Intervalls eine beliebige nicht symmetrische Form haben kann, die mit der Aufrechterhaltung der Unparteilichkeit vereinbar ist. Dadurch wird der eingeschränkte Schätzer weiterhin unvoreingenommen.
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