Problem bei der Berechnung der Gelenk- und Randverteilung zweier gleichmäßiger Verteilungen

Angenommen, wir haben die Zufallsvariable als und als , wobei eine gleichmäßige Verteilung im Intervall . $X_1$ $U[0,1]$ $X_2$ $U[0,X_1]$ $U[a,b]$ $[a,b]$

Ich konnte das gemeinsame PDF von und das marginale PDF von berechnen . $(X_1,X_2)$ $X_1$

p (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{x_{1}}, for 0 \leq x_{1} \leq 1, 0 \leq x_{2} \leq x_{1},

$p(x_1,x_2) = \frac{1}{x_1}, \text{ for }\quad 0\le x_1\le 1, \quad 0\le x_2 \le x_1,$

p (x_{1}) = 1, for 0 \leq x_{1} \leq 1.

$p(x_1)= 1, \text{ for } \quad 0\le x_1\le 1.$

Beim Berechnen des Rand-PDF von ich jedoch auf ein Grenzwertproblem. Das Ergebnis des Integrals bis zum Rand von ist und die Grenzen liegen zwischen 0 und 1. Da für nicht definiert ist , stehe ich vor einer Schwierigkeit. $X_2$ $X_2$ $\log(X_1)$ $\log(X_1)$ $X_1=0$

Liege ich irgendwo falsch? Vielen Dank.

pdf marginal joint-distribution Andre Silva
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Meinen Sie zufällig, dass X2 als U [0, X1] verteilt ist?

SheldonCooper

SheldonCopper: Das stimmt. Ich werde es ändern.

Die Grenzen für den Rand von liegen nicht zwischen 0 und 1, außer wenn .

X_{2}

$X_2$

X_{2} = 0

$X_2 = 0$

whuber

Danke whuber. Du hast Recht. Wir müssen also die Grenzwerte für die Grenzdichte von X2 durch X1 = X2 bis X1 = 1 ersetzen.

Antworten:

Im Integral "Marginalisierung" ist die Untergrenze für nicht sondern (aufgrund der Bedingung ). $x_1$ $0$ $x_2$ $0<x_2<x_1$

Das Integral sollte also sein:

p (x_{2}) = \int p (x_{1}, x_{2}) d x_{1} = \int \frac{I (0 \leq x_{2} \leq x_{1} \leq 1)}{x_{1}} d x_{1} = \int_{x_{2}}^{1} \frac{d x_{1}}{x_{1}} = l o g (\frac{1}{x_{2}})

$p(x_2)=\int p(x_1,x_2) dx_1=\int \frac{I(0\leq x_2\leq x_1\leq 1)}{x_1} dx_1=\int_{x_2}^{1} \frac{dx_1}{x_1}=log\big(\frac{1}{x_2}\big)$

Sie sind darauf gestoßen, was meiner Meinung nach einer der schwierigsten Teile statistischer Integrale ist - die Bestimmung der Integrationsgrenzen.

HINWEIS: Dies stimmt mit Henrys Antwort überein, meine ist die PDF und seine ist die CDF. Wenn Sie seine Antwort differenzieren, erhalten Sie meine, was zeigt, dass wir beide Recht haben.

Wahrscheinlichkeitslogik
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Ja, ich habe es herausgefunden, bevor du die Antwort gegeben hast :) ... Danke.

\log (1 / x_{2}) = - \log (x_{2})

$\log (1/x_2) = - \log (x_2)$ , was ich gefunden habe

Henry

Sie sollten in der Randverteilung für $X_1$ $X_2$

Ich würde erwarten, dass Sie und daher ergibt die Ableitung eine Grenzdichte von . $P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$ $-\log(x_2)$

Dies kommt von wenn , und wenn also die Integral ist $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = 1$ $x_1 \le x_2$ $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = \frac{x_2}{x_1}$ $x_2 \le x_1$

P (X_{2} \leq x_{2}) = \int_{x_{1} = 0}^{x_{2}} d x_{1} + \int_{x_{1} = x_{2}}^{1} \frac{x_{2}}{x_{1}} d x_{1}

$P(X_2 \le x_2) = \int_{x_1=0}^{x_2} dx_1 + \int_{x_1=x_2}^{1} \frac{x_2}{x_1} dx_1$

= {[x_{1}]}_{x_{1} = 0}^{x_{1} = x_{2}} + {[x_{2} \log (x_{1})]}_{x_{1} = x_{2}}^{x_{1} = 1}

$= \left[ x_1 \right]_{x_1=0}^{x_1=x_2} + \left[x_2 \log(x_1)\right]_{x_1=x_2}^{x_1=1}$

= x_{2} - 0 + x_{2} \log (1) - x_{2} \log (x_{2})

$= x_2 - 0 +x_2 \log(1) - x_2 \log(x_2)$

= x_{2} (1 - \log (x_{2}))

$= x_2 (1-\log(x_2))$

Henry
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Henry: log (X1) ist nach der Integration (aber vor dem Ersetzen von Grenzwerten) für den Rand von X2. Dein P (X2) ist falsch. Ich glaube, Sie integrieren das Protokoll (X1), das ich nach der Integration selbst erhalten habe.

@Harpreet: Beim Testen mit R ist mir klar, dass für korrekt ist . Ich habe auch die Integrale erweitert, um zu zeigen, wie dies erreicht wird. Welches Ihrer Meinung nach falsch?

P (X_{2} \leq x_{2}) = x_{2} (1 - \log (x_{2}))

$P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$

0 < x_{2} < 1

$0 < x_2 < 1$

P (X_{2})

$P(X_2)$

Henry

P (X2) = int (1 / X1).

Danke Henry. Aber ich denke, was Sie tun, ist richtig, jedoch wird der Rand von X2 in ohne Grenzen sein.

l n (X_{1})

$ln(X_1)$

X_{1} \leq 1

$X_1 \le 1$ also , was bedeutet, dass es keine Dichte- oder Verteilungsfunktion sein kann. Und ich denke immer noch, dass nicht in der Randverteilung von . en.wikipedia.org/wiki/Marginal_distribution sagt dasselbe in "Die Verteilung der Randvariablen (die Randverteilung) wird durch Marginalisierung über die Verteilung der verworfenen Variablen erhalten, und die verworfenen Variablen sollen ausgegrenzt worden sein." . "

\ln (x_{1}) \leq 0

$\ln(x_1) \le 0$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Henry