In Libre Office Calc steht die rand()
Funktion zur Verfügung, die aus einer Gleichverteilung einen Zufallswert zwischen 0 und 1 auswählt. Meine Wahrscheinlichkeit ist etwas verrostet. Als ich also folgendes Verhalten sah, war ich verwirrt:
A
= 200 × 1 Spalte von rand()^2
B
= 200 × 1 Spalte von rand()*rand()
mean(A)
= 1/3
mean(B)
= 1/4
Warum ist mean(A)
! = 1/4
?
expected-value
random-generation
uniform
Jefftopia
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rand()
wie andere ähnliche Operatoren funktioniert, ist A die gleiche quadratische Zufallszahl und B sind zwei multiplizierte Zufallszahlen.Rand()
wurde ersetzt durchInt(2*Rand())
: Dies nimmt die Werte und 1 mit gleichen Wahrscheinlichkeiten an. Es gibt zwei Möglichkeiten für das Quadrat und vier Möglichkeiten für das Produkt zweier (unabhängiger) Werte: Was passiert, wenn Sie ihre Erwartungen herausarbeiten?Antworten:
Es kann hilfreich sein, an Rechtecke zu denken. Stellen Sie sich vor, Sie haben die Chance, Land kostenlos zu bekommen. Die Größe des Landes wird bestimmt durch (a) eine Verwirklichung der Zufallsvariablen oder (b) zwei Verwirklichungen derselben Zufallsvariablen. Im ersten Fall (a) ist die Fläche ein Quadrat, dessen Seitenlänge dem Abtastwert entspricht. Im zweiten Fall (b) repräsentieren die beiden Abtastwerte die Breite und Länge eines Rechtecks. Welche Alternative wählen Sie?
LassU eine Realisierung einer positiven Zufallsvariablen.
a) Der Erwartungswert einer Realisierung bestimmt die Fläche des Quadrats, die gleich U 2 ist . Im Durchschnitt beträgt die Größe der Fläche E [ U 2 ].U U2
b) Wenn es zwei unabhängige Realisierungen und U 2 gibt , ist die Fläche U 1 ⋅ U 2 . Im Durchschnitt ist die Größe gleich E [ U 1 ⋅ U 2 ] = E 2 [ U ]U1 U2 U1⋅ U2
Wenn wir die Differenz zwischen der Größe der Flächen a) und b) berechnen, erhalten wir
Dies gilt für den allgemeinen Fall.
Diese Werte wurden analytisch abgeleitet, stimmen jedoch mit denen überein, die Sie mit dem Zufallszahlengenerator erhalten haben.
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Das soll nicht heißen, dass es an Svens hervorragender Antwort mangelt, aber ich wollte eine relativ elementare Sicht auf die Frage präsentieren.
Betrachten Sie das Auftragen der beiden Komponenten jedes Produkts, um festzustellen, dass die gemeinsame Verteilung sehr unterschiedlich ist.
Beachten Sie, dass das Produkt in der Regel nur groß ist (nahe 1), wenn beide Komponenten groß sind. Dies ist viel einfacher, wenn die beiden Komponenten nicht unabhängig, sondern perfekt korreliert sind.
So zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt überschreitet 1 - ϵ (für kleine ϵ ) handelt von ϵ / 2 für die U2 ('A') Version, aber für die U1× U2 ('B') Version geht es um ϵ2/ 2 .
Ein ziemlicher Unterschied!
Es kann hilfreich sein, Isoproduktkonturen in Diagrammen wie den obigen zu zeichnen - dh Kurven mit xy = Konstante für Werte wie 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Wenn Sie zu immer größeren Werten wechseln, nimmt der Anteil der Punkte über und rechts von der Kontur für den unabhängigen Fall viel schneller ab.
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