Hier in Wikipedia heißt es:
Für ausreichend große Werte von (sagen wir ) ist die Normalverteilung mit dem Mittelwert und der Varianz (Standardabweichung ) eine hervorragende Annäherung an die Poisson-Verteilung. Wenn größer als ungefähr 10 ist, ist die Normalverteilung eine gute Annäherung, wenn eine geeignete Kontinuitätskorrektur durchgeführt wird, dh wobei (Kleinbuchstabe) eine nicht negative ganze Zahl ist, durch ersetzt wird
Leider wird dies nicht zitiert. Ich möchte dies mit einiger Genauigkeit zeigen / beweisen können. Wie kann man eigentlich sagen, dass die Normalverteilung eine gute Annäherung ist, wenn , wie quantifiziert man diese 'ausgezeichnete' Näherung, welche Maße wurden verwendet?
Das weiteste, was ich damit zu tun habe, ist hier, wo John über die Verwendung des Berry-Esseen-Theorems spricht und den Fehler in den beiden CDFs approximiert. Soweit ich sehen kann, versucht er keine Werte von .
Antworten:
Angenommen,X ist Poisson mit dem Parameter λ und Y ist normal mit dem Mittelwert und der Varianz λ . Es scheint mir, dass der geeignete Vergleich zwischen Pr(X=n) und Pr(Y∈[n−12,n+12]) . Hier schreibe ich der Einfachheit halbern=λ+αλ−−√ , das heißt, sind wir daran interessiertwennn entsprichtα von der mittleren Standardabweichungen.
Also habe ich betrogen. Ich habe Mathematica benutzt. Also sowohl als auch Pr ( Y ∈ [Pr(X=n) sind asymptotisch gegenüber
Pr(Y∈[n−12,n+12])
als& lgr;→∞. Ihr Unterschied ist jedoch asymptotisch zu
α(α2-3)e-α2/
Hier sind die Befehle, die ich verwendet habe:
Auch mit ein wenig Experimentieren, scheint es mir , dass eine bessere asymptotische Annäherung an ist Pr ( Y ∈ [ n - α 2 / 6 , n + 1 - α 2 / 6 ] ) . Dann ist der Fehler - ( 5 α 4 - 9 α 2 - 6 ) e - α 2 / 2Pr(X=n) Pr(Y∈[n−α2/6,n+1−α2/6]) ,
dieBegriff ist√
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Wie auch immer, das ist nur ein Weg, um ein Gefühl von "Güte der Passform" zu bekommen. Alle stützen sich jedoch auf einige subjektive Vorstellungen von "Güte", die Sie selbst definieren müssen.
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Die Ableitung aus der Binomialverteilung kann Ihnen einen Einblick verschaffen.
Wir haben eine binomische Zufallsvariable;
Dies kann alternativ rekursiv berechnet werden;
Wenn Sie den Ausgangszustand beibehalten;
We switch some variables around and evaluate;
From calculus we know thatlimn→∞(1+x/n)n=ex . We also know that [n(n−1)(n−2)⋯(n−i+1)]/ni≈1 because both the top and bottom are polynomials of degree i .
This leads to the conclusion that asn→∞ :
You can then verify thatE(X)=λ and Var(X)=λ via the definition. We know that the binomial distribution approximates the normal under the conditions of the De Moivre-Laplace Theorem as long as you correct for the continuity, which is why P(X≤x) is replaced by P(X≤x+0.5) .
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