Die folgenden sind ähnlich, unterscheiden sich jedoch von den vorherigen Beiträgen hier und hier
- Sind bei zwei Verteilungen, die Momente aller Ordnungen zulassen, wenn alle Momente zweier Verteilungen gleich sind, dann sind sie identische Verteilungen?
- Sind bei zwei Verteilungen, die momenterzeugende Funktionen zulassen, wenn sie dieselben Momente haben, ihre momenterzeugenden Funktionen dieselben?
Antworten:
Lassen Sie mich in umgekehrter Reihenfolge antworten:
2. ja. Wenn ihre MGFs existieren, sind sie dieselben *.
siehe hier und hier zum Beispiel
Tatsächlich folgt es aus dem Ergebnis, das Sie in dem Beitrag angeben, aus dem es stammt. Wenn die MGF die Verteilung eindeutig ** bestimmt und zwei Verteilungen MGFs und dieselbe Verteilung haben, müssen sie dieselbe MGF haben (andernfalls hätten Sie ein Gegenbeispiel zu 'MGFs, die Verteilungen eindeutig bestimmen').
* für bestimmte Werte von "gleich", aufgrund dieses Ausdrucks "fast überall"
** ' fast überall '
Kendall und Stuart listen eine kontinuierliche Distributionsfamilie auf (möglicherweise ursprünglich aufgrund von Stieltjes oder jemandem dieses Jahrgangs, aber meine Erinnerung ist unklar, es sind einige Jahrzehnte vergangen), die identische Momentsequenzen aufweisen und dennoch unterschiedlich sind.
Das Buch von Romano und Siegel (Gegenbeispiele in Wahrscheinlichkeit und Statistik) listet Gegenbeispiele in den Abschnitten 3.14 und 3.15 auf (Seite 48-49). (Wenn ich sie mir anschaue, denke ich, dass beide in Kendall und Stuart waren.)
Romano, JP und Siegel, AF (1986),
Gegenbeispiele in Probability and Statistics.
Boca Raton: Chapman und Hall / CRC.
Für 3,15 schreiben sie Feller, 1971, S. 227 zu
Dieses zweite Beispiel betrifft die Dichtefamilie
und dann zeigen, dass der zweite Teil zu jedem Moment 0 beiträgt, so dass sie alle die gleichen Momente wie der erste Teil sind.
Vielleicht ist es noch besser, einen viel größeren Bereich einzunehmen und eine vierte Wurzelskala auf der x-Achse zu verwenden, um die blaue Kurve gerade und die grüne Kurve wie eine Sinuskurve darüber und darunter zu bewegen:
Die Wackelbewegungen über und unter der blauen Kurve - egal ob von größerer oder kleinerer Größe - führen dazu, dass alle positiven ganzzahligen Momente unverändert bleiben.
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